O Paradoxo de Braess e a Ampliação da Marginal

 escheraudi

Ampliação da marginal em São Paulo. Um paradoxo matemático de resultado dos mais curiosos, abrangendo desde o congestionamento de carros até a lentidão de sua internet. E uma Mente Brilhante? Todos estes nexos arrematados neste post. Na continuação, claro, clique na imagem e read on.

A Marginal e o Paradoxo

No mês passado, o governo do estado e a prefeitura de São Paulo anunciaram a Nova Marginal do Tietê, um investimento de R$1,3 bilhão criando 23 quilômetros de novas vias, que reduziriam o tempo das viagens em “cerca de 35%”. Como as novas vias ocuparão canteiros que abrigam em torno de 4,5 mil árvores, e como todo o projeto é obviamente um incentivo ao transporte individual, surgiram críticas e protestos. O Rastro de Carbono abordou o causo das árvores da Marginal Tietê, teve ainda uma continuação e comentou um vídeo. Este post não irá abordar nada disso, exceto um detalhe: a premissa de que a ampliação da marginal melhorará o tráfego.

Pois este é o paradoxo de Braess: mais estradas podem por vezes significar mais congestionamento. O resultado contra-intuitivo deriva de agentes escolhendo individualmente o caminho que lhes é mais rápido, fazendo com que coletivamente todos acabem levando mais tempo. Dito assim pode não soar como grande surpresa, mas ainda que todos motoristas sejam senhores Wheeler, como adicionar uma super-rodovia pode atrasar a todos?

braess_a 

Esta é a ilustração clássica do paradoxo do alemão Dietrich Braess. Motoristas desejam ir do nó (s) à esquerda até o (t), e há quatro trechos ligando os dois extremos. Dois trechos levam um tempo fixo de 1 hora para serem percorridos, dois outros levam um tempo que é proporcional à quantidade de carros que o atravessam, digamos que 100 carros levarão meia hora, 200 carros levarão uma hora e assim por diante.

Não é preciso nenhum grande cálculo para ver que no diagrama acima, a solução ótima divide o tráfego de carros igualmente pelos dois caminhos, que ao final são idênticos, embora em ordens diferentes dos trechos. Duzentos carros assim se dividiriam meio a meio em cada trecho, e o tempo total para que todos eles atravessem de um ponto a outro seria de 1,5 hora (1 hora fixa + 1/2 hora de 100 carros em cada trecho variável).

braess_b

Suponha então que um prefeito chamado Falum resolva construir uma mega-obra: o túnel de teletransporte Falim Fará Falum. É um túnel hiper-avançado com buracos de minhoca, e o tempo para atravessá-lo é zero! Independente do número de carros! Isso mesmo! Zero! Isso deve ajudar o trânsito! Falum é que fez, Falum é que faz!

O detalhe é que o túnel de teletransporte Falum liga os nós (v) e (w). Se você pensar um pouco sobre a situação, verá que esse maravilhoso túnel não deve melhorar o tempo de trânsito. Em condições ideais, o trânsito já está igualmente distribuído nas duas rotas principais, superior e inferior, e interligar essas duas rotas naquele ponto não aliviará trânsito algum. É como sair de um trecho que leva uma hora e meia para pegar outro que leva 90 minutos.

Só isso já deve mostrar como construir túneis de teletransporte, ou mesmo mais estradas, não melhora necessariamente o trânsito. Mas este não é paradoxo! O paradoxo é que construir mais estradas, ou mesmo túneis de teletransporte, pode piorar o trânsito.

Considere novamente a ilustração com o túnel de teletransporte, mas agora da perspectiva dos motoristas que vão percorrer esse trajeto todos os dias, dia após dia. Suponha que há apenas 100 carros para fazer o caminho no primeiro dia. Qual seria o caminho ótimo para eles? Simples, de (s) a (v), que levaria meia-hora, pelo túnel Falum, instantâneo, e então de (w) a (t), mais meia-hora. Cem carros chegaram ao destino em apenas uma hora, economizando tempo! Oras, o túnel Falum serviu para alguma coisa afinal! Todos os motoristas agora irão tentar este caminho e saudarão o túnel Falum como uma grande obra!

Nem tanto. Note que lidamos apenas com 100 carros. Anteriormente, havíamos calculado que 200 carros levariam todos 1,5 hora para fazer o trajeto. Se os 200 carros agora tentarem todos percorrer o caminho pelo túnel Falum, todos levarão duas horas. Todos agora perdem meia-hora, usando o teletransporte. Lembre-se: os trechos sv e wt são dependentes do volume de carros.

Seguramente, os motoristas devem perceber que se todos usarem o túnel Falum, todos demorarão mais tempo. Também irão perceber que as estradas de sw e vt agora ficaram completamente vazias. O grande problema, e esta é a chave aqui, é que se você individualmente tentar mudar de caminho, não terá nada a ganhar.

Suponha que 199 motoristas continuem trilhando o caminho pelo túnel, enquanto você experimente sozinho o caminho vazio sw. Bem, esse caminho leva 1 hora. E a partir de (w), você volta à companhia dos outros 199 motoristas, de forma que agora novamente 200, o caminho wt também leva 1 hora. Você continua levando 2 horas para ir de (s) a (t). Curiosamente, o fato de você não tomar o caminho sv beneficia um tanto a todos os outros motoristas… exceto você! Nem você nem nenhum dos outros motoristas consegue qualquer vantagem para si mesmo mudando de rota. Todos agem racionalmente, buscando a rota mais eficiente para si próprios. E no entanto, todos perdem coletivamente. Tudo isso com a introdução de um magnífico túnel de teletransporte.

Este é o paradoxo de Braess, como o matemático o declarou em 1968: “em situações desfavoráveis, uma extensão da rede de estradas pode levar a tempos de viagem maiores”.

Molas e a rodovia Cheonggyecheon

Entender algo do paradoxo não é muito mais difícil do que pronunciar Cheonggyecheon, ao que vamos chegar logo mais, mas aqui está um exemplo análogo ao paradoxo de Braess em um sistema mecânico bem intuitivo. Foi publicado por Cohen em 1991:

braess2

Temos um peso suspenso por duas molas, por sua vez ligadas por um pequeno pedaço de fio amarelo. Importante: este fio não é elástico. Adicione então mais dois fios não-elásticos de “segurança”, vermelhos, ligando a ponta de cada uma das molas ao peso e ao teto, como indicado. Estes fios de segurança têm uma folga, não sustentam nenhum peso.

Agora corte o fio amarelo. Pense rápido: o que acontece com o peso, ele desce, sobe ou continua na mesma altura?

braess2b

A resposta não é tão simples. E pode ser paradoxal. Apesar dos fios de segurança estarem originalmente com folga, cortar o fio amarelo pode fazer o peso subir. É um análogo das estradas de Braess, onde o fio amarelo é o túnel de teletransporte. Corte o amarelo e os fios vermelhos antes não-utilizados agora passam a distribuir melhor o peso, e as molas podem elevá-lo. Em retrospecto, é mesmo óbvio: com o fio amarelo, cada mola sustenta todo o peso. Duas vezes. Cortando-o, as duas molas sustentam cada uma apenas metade dele.

Cortar fios… fechar estradas. Se introduzir estradas pode piorar o tráfego, fechá-las pode melhorá-lo? A resposta não é tão simples, mas você pode imaginar qual pode ser.

Durante as comemorações do Dia da Terra de 1990, o comissário de transporte da cidade de Nova Iorque fechou a 42d Street, rua quase sempre congestionada. “Muitos previram que seria o fim-do-mundo. Não era preciso ser um cientista de foguetes ou ter um sofisticado modelo de computador para ver que isto poderia ser um grande problema”, disse o comissário ao NYT.

Não houve nenhum grande problema, de fato o tráfego melhorou com o fechamento da via.

O que nos leva finalmente a Cheonggyecheon, na Coréia do Sul. Motivado principalmente por uma proposta ambiental e urbanística, o prefeito Lee Myung-bak demoliu a rodovia elevada Cheonggyecheon que passava sobre o rio e movimentava em torno de 160.000 carros. Parte de todo um projeto de renovação, Cheonggyecheon passou disso:

Seoul_BeforeDongdaemunArea

Para isso:

Korea-Seoul-Cheonggyecheon

O que é muito bonito, mas e quanto aos carros? De que vale um belo parque se você arranca os cabelos no trânsito?

Vale muito, porque o tráfego realmente melhorou.

Prisioneiros no trânsito

É importante ressaltar que, ao contrário do que alguns entusiastas “ecológicos” poderão contar, não sabemos ao certo se o caso nova-iorquino ou o sul-coreano são realmente aplicações bem-sucedidas do paradoxo de Braess ao inverso: fechar vias para melhorar o trânsito. Não é algo tão simples como sair fechando rodovias arbitrariamente por aí.

Voltemos aos diagramas lá no início e ao túnel de teletransporte Falum: 100 carros levariam uma hora usando o túnel, lembra-se? Agora faça as contas sem o túnel. Como o fluxo se dividiria pela metade, e 50 carros levariam 15 minutos para percorrer os trechos variáveis, o trajeto levaria uma hora e 15 minutos. Sem o túnel, 100 carros levam mais tempo. A construção do túnel Falum realmente abreviaria o tempo de viagem de todos em 15 minutos, agindo individualmente em seus próprios interesses. Não haveria resultado paradoxal. Talvez não compensasse os custos do túnel de teletransporte, mas Falum teria feito algo útil para o trânsito. Com 100 carros, pelo menos.

Fato é que o paradoxo de Braess só vale em determinadas situações. Com que frequência elas ocorrem na vida real?

Quando as estradas não estão nem ficarão congestionadas, adicionar mais vias provavelmente ajudará. Percebeu como o exemplo clássico de Braess envolve trechos que ficam mais lentos com mais carros? São congestionamentos. Sem eles, as coisas não são paradoxais. Mais vias, mais caminhos, mais carros. Daqui vem nosso entendimento intuitivo do problema.

E quando elas ficam congestionadas? Como no caso da Marginal do Tietê em São Paulo? O paradoxo sempre entra em ação?

Nem sempre. O problema é extremamente complexo, matematicamente. Trabalhando com simplificações e pressupostos “razoáveis”, matemáticos (Steinberg et al, 1983) chegaram ao corolário de que a adição de uma rodovia pode… piorar o tráfego… ou não! Isto é, as chances de que a adição piore o tráfego seriam de 50%. De forma independente, uma simulação por computador (PDF) sugere que até 58% de novos projetos de tráfego propostos em uma cidade podem acabar piorando o trânsito.

Pode ser insatisfatório descobrir que não podemos encontrar uma generalização matemática que dite se a ampliação da Marginal irá gerar um paradoxo e piorar o trânsito. Ou não. Penso que talvez seja melhor assim. Ainda que houvesse um resultado matemático claro e simples, ele provavelmente não poderia ser promovido em sã consciência porque há muitos elementos envolvidos. Não há um resultado matemático claro e simples porque o trânsito não é claro e simples.

A renovação de Cheonggyecheon na Coréia do Sul, por exemplo, não envolveu apenas a transformação de uma rodovia em um parque. Diversas medidas, incluindo a construção de novas vias de acesso para redirecionamento do tráfego e investimento no transporte coletivo, também foram tomadas. Elas podem ter sido mais decisivas para a melhora do que um exemplo do paradoxo de Braess, o qual deve-se repetir, não podemos sequer estarmos certos de ter ocorrido por lá. Podemos estar, talvez, apenas 50% certos.

Isso não impede que estudos e simulações sejam feitos para estimar o impacto que a ampliação da Marginal terá no tráfego. O governo propagandeia uma redução de 35% no tempo das viagens, torçamos com muita fé para que esta estimativa tenha sido feita com modelos de tráfego sofisticados a ponto de simular paradoxos de Braess. Que não tenha sido simplesmente um cálculo feito em um guardanapo sobre o número de veículos que caberiam nas novas vias.

Faltam alguns nexos. A propósito de simulações computadorizadas do paradoxo, as idéias de Braess podem estar afetando sua conexão à Internet neste exato momento. Exatamente como motoristas egoístas, há pacotes de informação transitando por uma miríade de caminhos, com roteadores constantemente direcionando o tráfego para que eles cheguem individualmente no menor tempo possível de um ponto a outro. Se você entendeu o paradoxo de Braess, deve perceber que são exatamente as condições para que ele possa surgir.

Você também pode imaginar como motoristas munidos de aparelhos de GPS e informações de trânsito em tempo real, com computadores calculando sempre o caminho mais curto e rápido, para aquele motorista individual… podem acabar coletivamente atrasando todo o trânsito de uma cidade. Tendemos a pensar que mais informação melhorará a vida de todos, isso não é sempre verdade.

Conhecer e entender algo do paradoxo, além da curiosidade e de sua provável mas com
plexa aplicação prática em muitos campos, é também uma excelente janela ao fascinante mundo de John Nash. Mais conhecido como uma “Mente Brilhante”. Sabe aquela cena no bar com as garotas? Bem, esqueça-a. O paradoxo de Braess é um exemplo muito mais ilustrativo e um tanto mais próximo de expressar o que rendeu o Nobel a Nash. O equilíbrio estabelecido com a construção do túnel Falum, onde nenhum dos motoristas tem nada a ganhar mudando de rota, é um equilíbrio de Nash. No caso, o paradoxo deriva do fato de que este equilíbrio é pior que a distribuição social ótima. Eles nem sempre coincidem.

Na Teoria de Jogos, o famoso dilema dos prisioneiros é um outro exemplo similar. Se dois prisioneiros se declararem inocentes, ambos ficarão presos por 1 ano. Se acusarem um ao outro, ficarão os dois presos por 3 anos. Se apenas um delatar o outro, o acusado ficará preso por 5 anos enquanto o delator será liberado imediatamente. É evidente que a solução ótima é que os dois fiquem calados. Mas como confiarem um no outro? Sem combinar nada de antemão, cada um só pode concluir racionalmente que o outro irá delatá-lo. Acusando o outro prisioneiro, na pior das hipóteses fica-se preso por 3 anos, na melhor sai-se livre de pronto. Ficando quieto, pode-se ficar 5 anos preso enquanto seu caro amigo sai livre. Ao final, cumprirão juntos três anos.

Seus pacotes congestionados na rede e mesmo o trajeto que você escolhe de carro diariamente podem estar presos ao mesmo dilema. Valeu todo este post para a expressão “estar preso no trânsito” envolver agora a teoria de jogos? Espero que sim.

– – –

Mais:

Braess’s paradox
Removing Roads and Traffic Lights Speeds Urban Travel
Huh?! 4 Cases Of How Tearing Down A Highway Can Relieve Traffic Jams (And Save Your City)
The Price of Anarchy in Transportation Networks
Coping with Selfishness
Springing a Physical Surprise
Professor Braess

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Discussão - 22 comentários

  1. Scientist disse:

    Parabéns pelo post =)
    Valeu sim!

  2. Vitor disse:

    Muito interessante a explicação do Paradoxo de Braess. No caso da Marginal, e de obras viárias em geral que privilegiem automóveis, é importante lembrar que existe uma demanda reprimida de motoristas que não utilizam esse caminho. Além disso, infra-estrutura gera demanda. Com centenas de novos carros todos os dias nas ruas, esse “ganho” não vai durar nada. Só vai ser bom mesmo pra quem tiver o contrato dessa obra.

  3. Matias Mickenhagen disse:

    fantástico!

  4. Wendell disse:

    Pensando bem, até que a Paulista daria um ótimo jardim.

  5. Rafael disse:

    Este é o melhor blog dos ultimos anos. Parabens, Abraço.

  6. Excelente!!!
    Tomei conhecimento do post na lista de discussão da Associação Transporte Ativo. Em português, é a primeira vez que vejo mesclar trânsito e matémática avançada. Nenhum CET ou Detran faz isto, só sabem usar regra de três kkkk.
    Também vi, de relance, alguns outros posts. Vou incluir seu blog na minha lista de favoritos. Muito bom!!!

  7. Bruno disse:

    Assunto fascinante, texto claro mesmo para um leigo como eu… parabéns! Feed devidamente adicionado!

  8. Alison Heringer disse:

    Parabéns pelo texto!

  9. Belíssimo artigo, Kentaro.

  10. Luiz disse:

    Gostei
    Mostrando como as soluções de um problema bem comum podem necessitar de uma análise bem mais profundo do que se imagina!
    Acho que outro ponto de aplicação do paradoxo é quando se mudam as vias burocráticos dentro de uma firma pra agilizar a produção e a resolução de problemas.

  11. Claudia disse:

    Adorei, vou mandar para o Serra, o Kassab e seus assessores! ;)

  12. Kentaro, muito interessantes as idéias!
    Sobre o paradoxo, acho que tem um aspecto fundamental: a possibilidade de quem está numa pista conseguir ver as outras. Quando você está numa via com várias pistas e uma delas começa a andar mais rápido, os carros tendem a mudar para ela (se os motoboys deixarem) saturando-a novamente.
    Com relação ao fechamento das pistas, é uma medida que leva as pessoas a buscar alternativas – coisa que em situação normal elas não fazem, por comodismo. O transtorno causado será proporcional ao caráter do fechamento: se temporário, permanente ou intermitente (como o rodízio de São Paulo).
    Fato é que, como ficou implícito no seu texto, é preciso haver sacrifícios individuais em nome do bem comum.
    Abraço, Rodolfo.

  13. santini disse:

    fantástico

  14. Se eles perdessem todo esse tempo e dinheiro fazendo ciclovias nem iria mais piorar o trânsito. E tambem não gastariam toda essa grana e tempo…
    Mas pensar é pedir demais ne!?
    ótimo artigo, parabens.

  15. peter disse:

    E quem quer ir somente de v a w? ou de w a v? A construção dessa nova rodovia é ótima para ele. Deve-se pensar nisso também, não? Pois assim descontam-se esse carros que de outra forma ajudariam a congestionar os outros trechos, seja vtw ou vsw.

  16. Gustavo Burin Ferreira disse:

    Espetacular!

  17. Fazendo um acompanhamento do processo.
    Teoria: Paradoxo de Braess
    Experimento: Governo do Estado de São Paulo, executando a obra
    Resultado:http://www.estadao.com.br/estadaodehoje/20100527/not_imp557317,0.php

  18. Tuca disse:

    Interessante, mas parece que o paradoxo só funciona com um volume pequeno de carros. E se o volume for de, digamos, 1000 carros? Se meus cálculos não estiverem errados, eles se distribuirão igualmente pelas vias antes da construção do tunel Falum e cada motorista gastará 210 min (150 na via variável, 60 na via fixa). Após a construção do tunel, os motoristas gastarão apenas 120 min no trânsito (60 entre S e W, pega o tunel de Falum, mais 60 min entre V e T). Correto?

  19. […] não resolve o problema do congestionamento e pode até, em alguns casos piorá-lo. (ver Paradoxo de Braess, paradoxo de Downs-Thomson, tripla convergência, demanda induzida) Por isso, em primeiro lugar, […]

  20. […] não resolve o problema do congestionamento e pode até, em alguns casos piorá-lo. (ver Paradoxo de Braess, paradoxo de Downs-Thomson, tripla convergência, demanda induzida) Por isso, em primeiro lugar, […]

  21. […] a ampliação da marginal foi anunciada, comentamos o Paradoxo de Braess: mais estradas podem por vezes significar mais congestionamento. Com novas estradas motoristas […]

  22. Edgar disse:

    Parabéns.
    Seus trocadilhos dão cor aos conceitos cinzentos da Matemática.

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