“Nature By Numbers”: Fibonacci e a matemática como descrição do mundo

No início do século XIII, um certo Leonardo de Pisa investigou o problema do que aconteceria a um casal de coelhos. O casal faria o que casais (de coelhos, pelo menos) inevitavelmente fazem assim que podem, e geraria mais coelhinhos. Suponha que a cada mês cada casal de coelhos gere um novo casal, e que esse casal depois de um mês gere outro casal, e assim por diante. A nada milagrosa multiplicação dos coelhos. Você começaria com 1 casal, no mês seguinte teria 2 casais, então 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

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Esta sequência de números (a rigor começando com 0 e 1) seria conhecida como números de Fibonacci, como Leonardo de Pisa também seria melhor conhecido, e há várias curiosidades nesta sequência, como o fato de que a razão entre os números adjacentes tende a convergir para o valor de ~1,61, que é nada menos que a razão áurea, ou phi.

Mas estes dois parágrafos mal escritos nem começam a fazer jus ao que em pouco mais de três minutos o espanhol Cristobal Vila consegue ilustrar em “Nature By Numbers”, o vídeo no topo deste post. Iniciando com a sequência de Fibonacci, a animação computadorizada logo enche os olhos com a construção da espiral áurea e passa para como esta ordem matemática poderia ser vista na natureza, como a concha de um Nautilus, a disposição das sementes de um girassol e os alvéolos de uma libélula – estes, dispostos no vídeo de acordo com diagramas de Voronoi.

Depois de assistir ao vídeo, não deixe de conferir também “a teoria por trás do filme”, oferecida pelo próprio autor, disponível em inglês e espanhol. E aí, você poderá descobrir algo além das belas imagens, algo chocante. Uma conspiração promovida por muitos educadores e divulgadores de ciência já há muito tempo!

Descubra o que não querem que você saiba, qual o verdadeiro significado da “conspiração Fibonacci” e a natureza matemática na continuação.

A Verdade sobre o Nautilus e o Girassol

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“Embora assistindo a animação se transmita a idéia de que a Espiral de Fibonacci (ou Espiral Áurea) seja a base da forma do Nautilus, isso não é realmente verdade. É engraçado porque se você realizar uma busca no Google por “espiral+nautilus”, verá a quantidade de imagens que sugerem que esta concha se baseia no sistema de construção descrito acima. Mas não é verdade”, confessa Cristobal Vila.

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“A verdade é que isto é algo que descobri apenas quando já havia terminado o roteiro para este projeto e estava com muita preguiça de mudar. Assim, devo confessar que eu meio que trapaceei com esta animação. Ou você poderá explicar de forma mais ‘gentil’ dizendo que eu tomei uma licença artística ;-)”, ele se explica.

Leitores mais fiéis do 100nexos devem se lembrar que já indicamos aqui o excelente artigo do professor Donald Simanek criticando o “Fibonacci Flim-Flam”. O problema é muito mais extenso do que simplesmente um Nautilus não muito áureo: a sequência de Fibonacci e a razão áurea são motivo para todo tipo de confusões ou simplesmente trapaças didáticas para ilustrar livros escolares com imagens atraentes.

E elas incluem também… as sementes do girassol. Elas sim formam espirais, mas não sempre de acordo com a razão áurea. Como explicar os livros didáticos com fotos das sementes?

“O padrão de sementes raramente combina perfeitamente com a razão áurea, mas quando chega próximo, então elas são fotografadas para artigos provocarem ‘uau’ sobre números Fibonacci”, alerta Simanek.

O mesmo se aplica a quase todos os outros exemplos de espirais áureas na natureza: da cauda de um pavão à de um camaleão ou a concha de um caracol, todo tipo de fotografia de espiral já foi associado ou ilustrou artigos sobre matemática, número de Fibonacci e a razão áurea. Porém a coincidência – quando realmente existe, se existe – não revela a proporção áurea ou número de Fibonacci por trás de todos fenômenos.

Quando ocorre, se ocorre, é quase sempre apenas uma coincidência é um padrão que emerge a partir de mecanismos físicos e biológicos em determinadas condições, sendo consequência, não causa. E as condições em si mesmas poderiam ser tomadas como fruto do acaso, vez que podem resultar em geometrias que se ajustam melhor a padrões matemáticos diferentes.

Por mais belas que sejam, espirais áureas na natureza são apenas uma das belezas que enxergamos em meio a um vasto universo de padrões.

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Not.

Padrões da mente, e a natureza da matemática

“A ‘espiral áurea’ é uma curva fascinante. Mas é apenas um membro de uma família maior de curvas/espirais coletivamente conhecidas como ‘espirais logarítmicas’, e há ainda outras espirais encontradas na natureza, como a ‘espiral de Arquimedes’. Não é difícil encontrar curvas que se ajustem a um padrão em particular na natureza, mesmo que este padrão esteja apenas na mente do observador”.

Aqui Simanek vai direto ao ponto. Espirais logarítmicas em geral estão mais próximas do que podemos ver mais comumente no mundo à nossa volta. Seriam então elas realmente a explicação oculta, a ordem matemática subjacente unindo seres vivos, como quase sempre se afirma ao abordar o tema?

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“A matemática não ‘explica’ nada na natureza, mas modelos matemáticos são muito poderosos para descrever padrões e leis encontradas na natureza”.

Essa frase deveria ser emoldurada, e é através dela que pude finalmente reconciliar minha admiração emocional pelo trabalho gráfico de Cristobal Vila no vídeo que inicia este post e o fato frio e racional de que as ilustrações não correspondem exatamente ao que parecem sugerir.

Simulacro e Simulação

Você chegou a perceber que o Nautilus exibido no vídeo não é uma concha real, e sim uma construção com “licença artística” refletindo a espiral áurea? As sementes do girassol pareceram artificiais? Havia algo “errado” nelas?

Mesmo as asas da libélula: o próprio Vila também nota que asas reais encontradas na natureza podem não seguir à risca a disposição matemática de Voronoi. Ainda assim, as artificiais pareceram inverossímeis?

Os mecanismos simplificados de construção matemática exibidos se aproximam suficientemente bem do que se vê na natureza para que o erro se perpetue em livros didáticos e chegue mesmo a gerar animações virtuais de tirar o fôlego, sem que em nenhum momento a combinação de padrões pareça injustificada. Pelo contrário.

Há realmente algo aqui.

Ao alertar sobre o erro em enxergar combinações exatas e mesmo “explicações”, também vale lembrar como o sucesso destes modelos matemáticos simples em gerar algo capaz de enganar nossos olhos sim atesta algo positivo sobre o tema. Se não houvesse qualquer vestígio de semelhança, não seríamos enganados.

A obra de Vila é uma bonita demonstração de que a matemática fornece modelos poderosos – e quanto mais simples e ao mesmo tempo capazes de gerar padrões complexos, tanto mais poderosos.

Impossível deixar de mencionar fractais. Através deles e um punhado de outras ferramentas matemáticas, é possível gerar com apenas algumas centenas de linhas de código de computador um programa capaz de produzir imagens riquíssimas de “paisagens naturais”, com toda a aparência – e complexidade, aparente pelo menos – de paisagens reais.

O vídeo que você assiste logo acima, intitulado “Elevated” pelos criadores RGBA e TBC, não só é completamente gerado por computador, como foi gerado por apenas quatro kilobytes de código de máquina. 4kb. Incluindo a música, incluindo todos os quase quatro minutos de viagem por um mundo virtual.

Resume perfeitamente a idéia aqui: poucos pensarão que as técnicas matemáticas usadas para criar “Elevated” realmente expliquem os processos de formação geológica, índices de refração do ar e água, difusão atmosférica, as cores do céu, o comportamento do Sol.

São apenas modelos matemáticos capazes de reproduzir com certa aproximação tais padrões em uma ilustração gráfica animada. Um dos próprios criadores deixa isto claro: “a idéia não é renderizar neve perfeitamente, mas desenhar algo que evoca a neve, e deixar o cérebro do espectador enganá-lo”.

O mesmo ocorre com a criação “Nature By Numbers”, que ilustra conceitos matemáticos simples que podem gerar padrões visuais próximos aos que podem ser encontrados na natureza.

É o poder da matemática, é de fato uma natureza gerada por números, mas com o pequeno detalhe de ser uma natureza simulada. É a beleza do poder dos padrões que criamos e enxergamos em nossa mente. Há todo motivo para apreciá-los.

E quanto à natureza real? E quanto às “explicações” de verdade? Bem, essa já seria outra história. [Com agradecimentos ao Luiz Bento, via Smelly Cat]

ATUALIZAÇÃO 28/03: Os parágrafos finais na seção “Padrões da mente, e a natureza da matemática” foram alterados: embora a forma com que se expressou a idéia de que espirais áureas no mundo natural seriam “apenas coincidência” possa ser defensável, afinal as condições que permitem estes padrões são uma combinação de mecanismos físicos e biológicos e condições de crescimento ideais (que diferentes levam a outros padrões) a ideia de que uma combinação eventual seja meramente fruto do acaso também não é verdadeira.

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Discussão - 10 comentários

  1. Karl disse:

    Putz, achei que tinha descoberto a américa, hehe. Sensacional post, Kentaro.
    A cóclea dos mamíferos, orgão da audição, parece também ser uma espiral de Fibonacci. Veja esse post dos nossos amigos ianques: http://scienceblogs.com/retrospectacle/2007/10/fibonacci_numbers_the_cochlea.php
    Talvez por isso, algumas sequências harmônicas sejam tão agradáveis aos nossos ouvidos, né?

  2. Igor Santos disse:

    Seria ótimo conseguir acreditar que se trata de uma conspiração e não de ignorância coletiva.

  3. Kentaro Mori disse:

    Maravilha, Karl… se bem que a espiral da cóclea, como ela mesma admite, não é beeem uma espiral áurea. Será que uma perfeitamente áurea teria melhores propriedades auditivas? Excelente questão…

  4. Márcia disse:

    Conspiração ou não, a verdade q a natureza não copia ninguém..rs

  5. Boni disse:

    Acho que o fato de algumas sequências harmônicas recebem percebidas pelo nosso sistema cognitivo como tonais e atonais se dá devido à construção neuronal que codifica os estímulos elétricos do aparato auditivo. Por exemplo, pesquisas já evidenciam que, apesar do aparato auditivo de cachorros ser muito similar ao nosso, certas sequências de sons não elicitam respostas emocionais – e aqui nem falo de frequências – enquanto harmonias que provocam reações fisiológicas à nós (arrepio musical que posso ser mensurado elétricamente) não provocam reação alguma nos cachorros (não os deixa nem excitados e nem stressados). Os cachorros são muito mais sensíveis à variações de frequência. O que parece soar como uma sequência de notas agradáveis para nós pode ser recebido como um vale deformado e caótico de frequência.

  6. Nos vestimos de percepção e encontramos no acaso, porções de equilíbrio do todo.

  7. […] Não é uma espiral de Fibonacci, mas ainda é uma bela imagem. Tags fotografia, imagens […]

  8. […] No início do século XIII, um certo Leonardo de Pisa investigou o problema do que aconteceria a um casal de coelhos. O casal faria o que casais (de coelhos, pelo menos) inevitavelmente fazem assim que podem, e geraria mais coelhinhos. Suponha que a cada mês cada casal de coelhos gere um novo casal, e que esse casal depois de um mês gere outro casal, e assim por diante. A nada milagrosa multiplicação dos coelhos. Você começaria com 1 casal, no mês seguinte teria 2 casais, então 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… [“Science Blogs”] […]

  9. […] No início do século XIII, um certo Leonardo de Pisa investigou o problema do que aconteceria a um casal de coelhos. O casal faria o que casais (de coelhos, pelo menos) inevitavelmente fazem assim que podem, e geraria mais coelhinhos. Suponha que a cada mês cada casal de coelhos gere um novo casal, e que esse casal depois de um mês gere outro casal, e assim por diante. A nada milagrosa multiplicação dos coelhos. Você começaria com 1 casal, no mês seguinte teria 2 casais, então 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… [“Science Blogs”] […]

  10. Anonimato5000 disse:

    Eu simplismente acho perfeita a matematica, e ocmo a natureza é perfeita manu

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