Em que provamos que π=4

provapi4

Você consegue descobrir a falha no argumento acima? Há muitas formas de entender como repetir a remoção de cantos não leva realmente ao comprimento de um círculo, incluindo aquela que se resume a repetir como remover cantos desta forma só lhe deixará com mais cantos, mas “você sempre vai ter espaço pra fazer mais uma dobrinha nas quinas do quadrado, com apenas a ponta encostando no circulo, mas sempre com uma quina que não encosta. E você só diminui a distancia entre a quina e o circulo, mas sempre vai ter a quina ,então nunca vai encostar em todo o perímetro”, como notou o girino.

Essa explicação lhe satisfaz? Pois bem, então por que o método de Arquimedes sim funciona? Há mais de dois milênios, o matemático grego foi o primeiro ser humano na história conhecida a aproximar o valor de pi por um método matematicamente rigoroso que poderia fornecer uma aproximação com a precisão que se desejasse.

Através de polígonos inscritos e circunscritos com números cada vez maiores de lados, Arquimedes pôde estimar esta elusiva constante matemática com as técnicas geométricas simples de que dispunha para polígonos regulares. Clique na imagem abaixo para um gráfico interativo, e aumente o número de lados do polígono para obter aproximações cada vez melhores de pi.

arquimedespi

Pois bem, isto não parece muito diferente do método trollface. Você consegue explicar por que um método funciona e o outro, não?

Uma forma de enxergar o problema é perceber, como notou o Ricbit, que o método trollface de obter o valor do pi poderia gerar um valor arbitrário. Você poderia desenhar uma estrela, e então desenhar estrelas cada vez menores, sempre mais próximas do perímetro do círculo. Ao infinito, você poderia ter algo que de longe pareceria um círculo. Mas o perímetro deste objeto poderia ser maior que 4, de fato, poderia ter um comprimento arbitrário, mesmo… infinito. E, pelo visto, mais pessoas perceberam isto.

É o problema de medir a costa da Bretanha. A aproximação de Arquimedes tende a um limite que é tanto um círculo como equivale ao perímetro de um círculo, ao contrário do método trollface. Agora, aqui está o detalhe fabuloso: o método trollface pode ter comprimento arbitrário, mas sim tende a um limite que é um círculo! Como?

“A convergência de pontos de curvas não implica que seus comprimentos convirjam ao limite do comprimento. Imagine um humano caminhando em uma estrada reta por 1km da seguinte forma: ele dá dois passos para frente, um passo para trás, e então repete o procedimento. Ao final ele terá caminhado 3km ao invés de 1km. Se fizermos o humano e seus passos cada vez menores, seu movimento parecerá cada vez mais contínuo a um observador externo, mas ele ainda terá caminhado 3km ao invés de 1km”, explica um comentário em Hacker News. “Ou alternativamente (se quisermos adentrar o espaço bidimensional) ele poderia dar uma passo à esquerda, então à frente, e então à direita; isto faria com que seu caminho parecesse uma trilha fina que se aproximasse cada vez mais de uma linha reta, mas sempre seria três vezes mais comprido. Algo assim está acontecendo na brincadeira original”.

Em que percebemos que é possível construir um círculo com uma linha de comprimento infinito, sem com isso demonstrar que o valor de pi tenha um valor muito diferente daquele estimado por Arquimedes há um par de milênios. Se isso parece inusitado, a matemática ainda reserva surpresas como o paradoxo de Banach-Tarski.

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PS.: Por favor, corrijam quaisquer sacrilégios matemáticos cometidos neste post.

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Discussão - 8 comentários

  1. Pedro Almeida disse:

    outra explicacao é q o limite do perímetro do quadrado nao converge com o limite da circunferencia, pois se tocam em somente um ponto, sempre. e um ponto nao tem comprimento, nao importam qnts pontos sejam, se olhados isoladamente. o limite adequado seria fazer um perimetro inscrito com n lados tender à tangente da circunferencia, pq aí sim todos os pontos iriam tocar o perimetro do circulo =)
    eu tenho uma equacao aqui q “prova” q pi=3, feio tb aehuaeuh

  2. O método de Arquimedes também só aproxima o perímetro e nunca encosta em todo ele. O Girino precisa de um argumento melhor para dizer o motivo de não funcionar.
    O método de Arquimedes funciona e a explicação é um pouco mais elaborada. Perceba que a “demonstração” acima mostra que pi é, na verdade, menor ou igual a 4. É intuitivo acreditar que se você fizer uma curva fechada em volta do círculo, essa curva tem que ter comprimento maior ou igual ao do círculo. Mas se você fizer uma curva fechada dentro, essa curva ainda pode ser maior. A sacada de Arquimedes foi fazer uma sequência de polígonos em volta, outra dentro e depois provar que o comprimento do de fora decrescia para pi e o comprimento da de dentro crescia para pi. É a mais antiga aplicação do famoso teorema do confronto, que aprendemos em cálculo 1 e usamos para encontrar limites de sequências e funções.

  3. Bruno disse:

    Interessante o post.
    Pensando um pouco sobre o problema, mas sem muito rigor matemático (se sobrar algum tempo depois e realmente existir interesse da comunidade, posso tentar provar matematicametne), gostaria de fazer duas observações:
    1 – O número pi está intimamente ligado ao perímetro do círculo e o método troll não aproxima o mesmo. Para aproximar o perímetro, o perímetro total da figura deveria reduzir em cada iteração, chegando cada vez mais próximo do perímetro do círculo (o qual seria seu limite). O método apresentado mantém o seu perímetro constante, ao contrário do método do Arquimedes, onde o perímetro é cada vez menor e o limite da séria é de fato o comprimento do perímetro do círculo. O erro do método troll é considerar que o perímetro da figura gerada é igual ao do círculo (FAIL!).
    2 – Apesar do método troll falhar na aproximação do perímetro, me parece que ele está aproximando a área do círculo. Talvez seja possível deduzir pi levando essa premissa em consideração. Não sei se é possível, mas seria divertido tentar provar matematicamente.
    Bruno

  4. Esse problema tem alguma relação com fractais. Por mais detalhado que seja o polígono, o perímetro sempre é o mesmo.

  5. juliana disse:

    A melhor explicação é a do Max. O “dois passinhos pra frente e um pra trás” só mostra a diferença entre distância e deslocamento, mas não é o que está acontecendo aqui. A aproximação do pi é uma aplicação do “teorema do sanduiche”, como é conhecido nos cálculos I da vida…

  6. N disse:

    Para que se esteja aproximando de um círculo a curvatura da figura teria que estar diminuindo. A tangente a qualquer ponto teria que tender a uma perpendicular ao raio.

  7. supratall disse:

    Pensando um pouco sobre o problema, mas sem muito rigor matemático (se sobrar algum tempo depois e realmente existir interesse da comunidade, posso tentar provar matematicametne), gostaria de fazer duas observações:

  8. Ismael disse:

    O método do troll está certo, o que ele fez de errado é concluir que o valor do limite é igual ao primeiro valor que ele encontrou. Outro exemplo é um quadrado de lado um. Suponha que traçamos sua diagonal na forma de escada, o seu comprimento seria dois. Podemos colocar quantos degraus extras quisermos, mas a escada continuara com comprimento dois. Se tomarmos o limite de infinitos degraus o comprimento da escada convergirá para raiz de dois, assim como o perímetro no método do troll converte para PI.
    Não é possível calcular uma aproximação para PI utilizando o método do trol, isso por que o limite que ele está usando não converge lentamente para o perímetro do circulo. Cada nova dobra feita nas quinas do quadrado te leva a uma figura com a mesma área e perímetro. Você pode fazer o processo 9000000000 vezes e o resultado será o mesmo, só quando você fizer isso infinitas vezes o resultado será PI como eu já disse. O método do Arquimedes por sua vez, nos dá uma aproximação porque cada vez que você acrescenta um vértice, a figura geométrica obtida possui perímetro e área menor do que a anterior. Assim o perímetro tende lentamente para PI.
    Ambos os métodos tendem para PI, porem o do Arquimedes tende lentamente para PI, enquanto o do troll tende “descontinuamente”.
    Parabéns, muito bom o blog, não sei como eu fui demorar tanto pra descobrir ele.

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