Você sabe que eu sei que você sabe?

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“Esses terráqueos são estúpidos. Isso os torna imprevisíveis”. – V: A invasão (1983)

“Suponha que um pai diga a suas crianças – um menino e uma menina – que não devem se sujar. Elas brincam na rua, e acabam as duas sujando suas testas. As crianças não podem ver a lama em suas próprias testas, já que está acima de seus olhos. Mas cada uma delas pode ver a lama na testa da outra. Como elas querem ver uma à outra levando castigo, nenhuma diz nada. Por acaso, estas crianças também são muito inteligentes, de fato, nunca cometem erros em lógica ou falham em deduzir algo que pode ser deduzido logicamente. Você pode chamá-las de prodígios de lógica. Além disso, elas nunca mentem. Por fim, o pai chega e diz: ‘Pelo menos um de vocês tem lama na testa’. Ele pergunta à garota: ‘Há lama na sua testa?’. Ela responde: ‘Não sei’. O pai então pergunta ao garoto ‘E você, há lama na sua testa?’. Ele responde a contragosto: ‘Sim’”.

Entender este conto de fábulas lógico é simples. O garoto deduziu que tinha lama em sua testa porque caso não tivesse, sua irmã teria visto tal. E como pelo menos um deles estava sujo, ela saberia que seria ela a estar com a testa suja, respondendo ao pai de acordo. Uma vez que ela não sabia se tinha ou não lama na testa, isso só poderia indicar que ela havia visto lama na testa dele. Talvez ela também estivesse suja – como estava – mas ao dizer que não sabia se era ou não pelo menos um dos irmãos que estavam sujos, ela permitiu que o irmão deduzisse que ele sim estava sujo. Elementar.

O que é fascinante aqui é algo que você pode nem ter estranhado a princípio.

Antes que o pai dissesse aos dois que pelo menos um deles tinha lama na testa, cada uma das crianças já sabia disso. Elas haviam visto a lama um na testa do outro. Quando o pai perguntou à garota se ela tinha ou não lama na testa, ela respondeu que não sabia. Não sabia, não podia responder.

Como então estas duas informações que não adicionaram nada ao que os prodígios já sabiam permitiram que o garoto deduzisse algo que previamente não podia deduzir?

“Ao dizer a eles que ‘um de vocês tem lama na testa’ o pai não apresentou nenhuma informação nova, no entanto ele ainda assim alterou o estado do conhecimento: ele fez com que o garoto soubesse que a garota sabia que um deles estava sujo. (…) Se ao invés de informar aos dois filhos em voz alta o pai tivesse chamado cada um deles em privado e dito que pelo menos um deles estava sujo, nenhuma dedução poderia ser feita. O menino não saberia o que o pai havia cochichado à irmã, assim ele não poderia saber que a garota sabia que pelo menos um deles estava sujo”.

Como Sam Alexander, autor de quase todo o texto que você leu até aqui nota, esta fábula “ilustra a sutileza de raciocinar sobre o conhecimento. Deduções não-triviais podem exigir não apenas conhecimento de fatos, mas conhecimento sobre o próprio conhecimento”. O aparente paradoxo traz à lembrança outros casos mais conhecidos, como o problema de Monty Hall.

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No problema de Monty Hall, ou a Porta dos Desesperados (clique para mais), entre as muitas formas de entender o resultado contra-intuitivo, uma das mais esclarecedoras é perceber que ao abrir uma porta o apresentador está fornecendo informação valiosíssima. Ao contrário do que faz parecer e do que a maioria das pessoas presume, o apresentador não abrirá uma porta aleatoriamente, porque jamais abrirá a porta com o prêmio. Isso arruinaria todo o suspense e acabaria com o jogo.

Ao revelar uma porta, o apresentador está mostrando qual das portas que o apostador não escolheu inicialmente não contém o prêmio. Se você sabe que o apresentador sabe qual das portas contém o prêmio, e se sabe que o apresentador sabe que não deve abrir essa porta, suas chances de ganhar passem de meros 1/3 para os muito mais atraentes 2/3.

Mais do que uma curiosidade lógica, há uma certa beleza poética no fato de que o conhecimento compartilhado permite chegar a conclusões que cada um dos participantes, isoladamente, não poderia deduzir. Esta situação também é relevante na Teoria de Jogos, e pode ser aplicada. Durante a Guerra Fria, EUA e União Soviética só alcançaram maior estabilidade quando ambos os lados chegaram a um acordo tácito onde o arsenal bélico de um lado seria conhecido pelo outro lado, através de imagens de satélite.

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Isto explica algo como o cemitério de aviões nos EUA. Cada um queria ver a lama na testa do outro lado, e cada lado devia saber que o outro sabia que os dois possuíam lama. O ápice desta lógica foi a Destruição Mutuamente Assegurada. Cada um sabia que o outro sabia que qualquer ataque direto levaria inevitavelmente à destruição de ambos. Se cada um soubesse disso, a lógica dizia, nenhum jamais atacaria e a paz estaria assegurada através das mais terríveis armas.

Mas os terráqueos são estúpidos, e isso os torna imprevisíveis. Isso não impediu, obviamente, que cada lado tentasse tomar vantagem e manipular o jogo, de forma que na prática não sabiam realmente se sabiam o que o outro sabia que sabia. Nos períodos de maior tensão, toda a teoria de jogos e toda a fria lógica proposicional, epistemologia e muito mais deu lugar ao simples instinto e à mera sorte. É assustador. O ex-Secretário de  Defesa Robert McNamara, conhecido por introduzir no complexo militar-industrial americano técnicas de administração mais “científicas”, comentou em suas memórias sobre a Crise dos Mísseis de Cuba:

“Eu quero dizer isso, e isso é muito importante: no final, nós tivemos sorte. Foi sorte que impediu a guerra nuclear. Nós chegamos a um fio da guerra nuclear no final. Indivíduos racionais: Kennedy era racional; Kruschev era racional; Castro era racional. Indivíduos racionais chegaram muito próximos da destruição total de suas sociedades. E esse perigo ainda existe hoje”.

Anos depois, um desconhecido militar russo teve na ponta dos dedos a decisão de não iniciar o Apocalipse. Todos os alarmes diziam que os EUA haviam disparado uma série de mísse
is que matariam milhões de russos. Seria racional que apertasse o botão vermelho. Não apertou. Como imaginou, o alarme era falso, o avançado sistema de alerta estava confundido algo tão corriqueiro como o Sol com o disparo de mísseis nucleares.

Agora que eu sei que você sabe o que eu sei sobre o que se sabe neste texto, podemos apreciar melhor que ainda não sabemos bem o que sabemos. Devemos prezar e partilhar o pouco que sabemos.

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Discussão - 14 comentários

  1. André T disse:

    Muito muito legal esses problemas com soluções contra-intuitivas.
    Eu gosto muito daquele problema do ‘truelo’. Três atiradores, um que acerta 100% das vezes, um acerta 50% dos tiros, e um acerta 33% dos tiros, resolvem entrar em um ‘truelo’ e atirarem um no outro até que sobre apenas um. Para fazer o truelo o mais justo possível, o primeiro tiro vai caber ao pior atirador, o segundo ao atirador médio, e o terceiro ao melhor atirador, e assim circulando até que sobre apenas um vivo.
    A pergunta é: no caso de você ser o pior atirador, em quem dá o primeiro tiro? A resposta é estranha, mas faz sentido. Achei em um blog uma análise boa sobre o problema:
    http://blogdoportinho.wordpress.com/2010/02/26/enigma-matematico-resposta/
    Uma coisa engraçada de se notar é o erro lógico que existe no Gênesis bíblico. Deus diz a Adão e Eva: ‘não comam da árvore do conhecimento’ – e a árvore do conhecimento dá a eles o conhecimento do que é o bem e do que é o mal. Mas antes de comerem a fruta, eles não sabiam que desobedecer era errado (já que não tinham nenhum conhecimento sobre o bem e o mal) – logo, tomaram a decisão sem ter conhecimento nenhum, culpa nenhuma. Resumindo: Deus os pune por terem tomado uma decisão errada que eles, no momento da decisão, não sabiam que era errada (e que entenderam como errada somente depois de ter sido realizada).

  2. Rodrigo Da Silva disse:

    A não agora vcs sabem o que eu nao sei que posso , ops quer dizer vcs nao sabem que eu sei. Ou era o contrario talvez tudo seja ilusão. Talvez matrix 4 é 5 expliquem que não adianta saber que vc vive uma fantasia. É sim como vc conduz a fantasia ou a realidade para um melhor rumo da sua conciencia é “talvez” pelo bem dos outros. Talvez não livre arbitrio ou!

  3. Pedro disse:

    Kentaro, por favor, me esclareça: na “Porta dos Desesperados”, quando o apresentador abre uma das portas (que não tem o prêmio), o candidato passa a ter duas alternativas, 50% de chances de acerto, ao invés de 2/3. Este raciocínio está correto?
    Grato,
    Pedro.

  4. Rafael disse:

    Sempre me perguntei, se você é um entusiasta da ciência então porque não seguiu uma carreira científica?

  5. Gabriel Cunha disse:

    Aaaahhh, seu último parágrafo me deixou tonto!
    \o/ para o texto, muito bom.

  6. Kentaro Mori disse:

    Bem, eu ainda posso seguir uma carreira científica. Mal estou completando a graduação ainda.

  7. Kentaro Mori disse:

    Não, Pedro. Esse é o engano mais comum. Dê uma lida em:
    http://www.sedentario.org/colunas/duvida-razoavel/porta-dos-desesperados-5853

  8. Danilo disse:

    O problema de Monty Hall eu conheci no livro “O Andar do Bebado” de Leonard Mlodnow. Grande livro para quem quer entender sobre o acaso. O engraçado é que muitos professores de matemática dos estados unidos não queriam aceitar a verdade, mesmo depois de serem explicados. Isso mostra o quanto somos instintivos e pouco racionais certas vezes.. Como diz o livro que citei acima, esse instinto deve ter sido essencial para a sobrevivência da espécie.

  9. Agora ficou mais fácil saber se há disparos de mísseis intercontinentais. Basta ver o Google Earth.

  10. Sobre Adão e Eva: para os Judeus, Deus é O Pai. Pais podem proibir certas coisas aos filhos, e estes desobedecê-los por não conhecerem o bem e mal, nem relevarem tais recomendações. A Biblia é essencialmente patriarcal.
    Quanto à ameaça de retaliação russa aum falso sinal de ataque, isso é foi história mal contada. A União Soviética já apresentava sinais de fadiga na corrida armamentista.
    A superioridade americana, após o programa “Guerra nas Estrelas” de Reagan, foi posta a prova na primeira invasão no Iraque.
    Na Guerra da Coréia houve empate. No Vietnã ganharam os russos. No Iraque ganharam os americanos.
    Logo após a primeira Guerra ao Iraque, o muro de Berlim ruiu. Junto com ele, a União Soviética.

  11. REinaldo Schroeder disse:

    e eu sempre achei que esta história do cemitério de aviões era boato de internet.
    Sempre achei que os americanos desmontavam ou vendiam seus equipamentos velhos……

  12. Anderson disse:

    Este conto da lama na testa parece ser uma adaptação da teoria dos jogos de Nash, no dilema do prisioneiro…

  13. Tarilonte disse:

    Olá.
    O que alterou o conhecimento não foi a afirmação do pai, e sim a resposta da menina. A partir da resposta dela que o menino soube de sua própria situação.
    Suponhamos que apenas a menina tivesse sujado a testa. Quando o pai perguntasse a mesma coisa, ela diria “Sim” e o menino então diria “Não sei”.

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