O Ponto de Feynman

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Os primeiros dígitos do Pi contêm muitas repetições de números duplos, destacados em amarelo, e algumas repetições de números triplos, em verde. Na posição decimal 762, no entanto, surge uma repetição de seis números nove: 999999.

Richard Feynman certa vez brincou que gostaria de memorizar todos os dígitos do Pi até esse ponto, de forma que poderia recitá-los e terminar com um “nove nove nove nove nove nove e assim por diante”, sugerindo que o Pi continuaria com a série de noves e seria assim um número racional. É uma piada para iniciados, uma vez que o Pi é um número transcendental: se você ri da diferença entre um número racional e um transcendental vai entender a piada.

Essa sequência de seis noves no Pi ficou conhecida assim como “Ponto de Feynman”, e é uma curiosa coincidência, mesmo uma anomalia. Considerando o Pi como um número normal, em que grosso modo os números “surgem” com igual probabilidade, as chances dessa repetição de seis dígitos ocorrer é de apenas 0,08%. Para fazer ideia de quão improvável ela é, a próxima repetição de seis dígitos idênticos no Pi ocorre na posição 193.034. E ela também é de noves!

Spoiler: Em “Contato”, no livro original de Carl Sagan, a protagonista ao final descobre nada menos que Deus, ou o Criador do Universo, ao decodificar uma mensagem nos dígitos do Pi. O Pi é uma constante matemática e uma mensagem arbitrária só poderia ser codificada nele por um Ser que tivesse criado os próprios fundamentos da Realidade. O que é uma excelente reviravolta no romance de ficção, mas os matemáticos com suas piadas sobre números racionais e transcendentais também querem provar que o Pi é em verdade um número normal, como vimos acima, o que significaria que qualquer mensagem arbitrária que fosse encontrada em seus dígitos seria mero acaso.

Você pode brincar de encontrar “mensagens” no Pi clicando em Pi-Search. Buscando nos primeiros 100 milhões de dígitos, as chances de encontrar qualquer sequência de 6 números – como a sua data de nascimento ou senha de banco – é de quase 100%.

O Paradoxo de Simpson

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“Há três tipos de mentiras: mentiras, mentiras cabeludas e a estatística” – Mark Twain

“Cerveja! A causa e a solução de todos os problemas da vida” – Homer Simpson

No início da década de 1970, a Universidade de Berkeley se tornou uma das primeiras a ser processada por discriminação sexual. De acordo com os dados do outono de 1973, dentre os estudantes que haviam se inscrito na instituição, 44% dos homens foram aprovados contra apenas 35% das mulheres. A diferença era tão grande (ou “significativa”) que só poderia indicar que o processo seletivo desfavorecia as mulheres.

A realidade se mostrou um tanto mais complexa: analisando os números de aprovação por gênero nos seis principais departamentos, descobre-se que quase todos com exceção de dois deles tiveram um grau de aprovação feminina maior do que a do sexo oposto:

Departmento Masculino Feminino
Inscritos Aprovados Inscritos Aprovados
A 825 62% 108 82%
B 560 63% 25 68%
C 325 37% 593 34%
D 417 33% 375 35%
E 191 28% 393 24%
F 272 6% 341 7%

Isto é, apesar dos números agregados de aprovados por sexo indicarem que mulheres tiveram maior dificuldade em serem aprovadas do que homens, quando analisados separadamente por departamento – e mesmo quando outros fatores são levados em conta – descobriu-se que de fato havia na Universidade de Berkeley um pequeno viés em favor das mulheres. A Universidade foi absolvida das acusações de discriminação.

Para entender como os números podem sugerir correlações opostas dependendo de como são apresentados basta procurar pelos departamentos mais concorridos. Das 1.835 mulheres inscritas nos seis departamentos, 1.504, ou 82%, concorreram a departamentos muito disputados em que menos de um terço dos inscritos (homens ou mulheres) acabaram aprovados. Já entre os 2.691 homens, 1.385, ou 51,5%, concorreram a departamentos onde mais de dois terços dos inscritos foram aprovados. Ainda que os departamentos mais concorridos tendessem a aprovar mais mulheres, o fato delas se concentrarem nos departamentos que aprovavam menos – em geral – gerou a estatística agregada de desfavorecimento.

O viés nos dados agregados desfavorecendo o sexo feminino não estava no processo seletivo, mas em etapas muito anteriores do processo, determinados ultimamente na própria escolha do departamento de inscrição. “Mulheres são limitadas em sua socialização e educação a áreas de graduação que são geralmente mais lotadas, menos producentes de diplomas completos, menos patrocinadas e que frequentemente oferecem menos prospectos de emprego profissional”, apontaram Bickel et al em uma análise publicada na Science.

Este paradoxo em que dados agregados sugerem uma correlação que pode ser completamente revertida quando os dados são analisados de forma segmentada é conhecido como o paradoxo de Simpson, em referência ao estatístico britânico Edward Simpson. De fato qualquer correlação pode ser revertida com a adição de fatores arbitrários.

A entrada na Wikipedia tem outros exemplos fascinantes, e eles ilustram não que a estatística seja a forma mais cabeluda de mentira já inventada pelo homem, mas como relações causais são essenciais na análise de dados.

Por trás de cada estatística há uma história, e conhecer como os dados foram coletados, o que eles significam e como se relacionam permite desfazer o paradoxo. Não há realmente contradição quando entendemos que é sim possível que uma universidade não desfavoreça mulheres em seu processo seletivo, mas que o desfavorecimento ocorra em estágios anteriores ao próprio processo seletivo, resultando em números que mostram como apesar do processo seletivo apresentar mesmo um pequeno viés a favor das mulheres, ao final o número de aprovados continuar demonstrando as dificuldades que enfrentam.

[Detalhe fascinante indicado pelo ainda mais interessante

If correlation doesn’t imply causation, then what does?]

Ramanujan e 11/11/11 11:11:11

“O Twitter divulgou um vídeo que mostra uma visualização global de todos os Tweets mencionando 11:11 no dia 11/11/11. Depois há uma segunda onda que seriam os tweets às 23h11, ou 11:11 PM” – Renê Fraga

O vídeo é curioso pela onda que acompanha o fuso horário, e porque a segunda onda que comenta o 11:11 PM se destaca mais nos EUA, onde de fato se usa a convenção AM/PM e não algo como 23h11. Talvez melhor do que qualquer texto longo isso ilustre como o momento é resultado de uma série de convenções arbitrárias, indo do fuso horário à forma como registramos as horas ao longo do dia.

É o não tão velho dilema de que determinar a data e hora exatas do Fim do Mundo deve lidar hoje com questões de fuso horário, e mesmo do horário de verão. Foi-se o tempo em que o Sol parar no céu era um fenômeno universal.

Enquanto uma pequena parte da população mais crédula esperou algo acontecer ansiosamente nesse momento, outra parte da população mais cética desdenhou da superstição – enquanto imagino que quase todos tenham visto o evento apenas como uma curiosidade.

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O que ele revela também é nossa fascinação por reconhecer padrões. O padrão 11/11/11 é óbvio, mas o óbvio é muito relativo. Uma famosa anedota matemática conta que o matemático inglês G.H. Hardy foi visitar o gênio indiano Srinivasa Ramanujan no hospital, mas Ramanujan não era um gênio qualquer: era um gênio matemático, considerado por muitos um dos maiores que já existiu.

“Eu havia pegado um táxi de número 1729 e comentei que o número parecia bem monótono”, contou Hardy, “e esperava que isso não fosse um mau agouro”.

“Não”, respondeu Ramanujan de pronto, “é um número muito interessante; é o menor número que pode ser expresso como a soma de dois cubos [positivos] em duas formas diferentes”.

As duas formas são 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 = 1729.

Se para nós 11/11/11 é um padrão interessante evidente, para Ramanujan não só 1729, como praticamente todos os números possuíam e eram parte de padrões interessantes. E como se vê, mesmo entre matemáticos como Hardy e Ramanujan tais padrões podem ser vistos como sinais.

“Todo positivo inteiro é um dos amigos pessoais de Ramanujan” – J.E. Littlewood

A prova de que todos os números são interessantes é mesmo um paradoxo divertido: se houvesse números que não fossem interessantes, então o menor desses números se tornaria automaticamente interessante por ser o menor número não-interessante. E assim por diante.

“Obrigado por apontar o meu erro”

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[
Edward Nelson]

A aritmética é uma das representações mais puras de uma realidade objetiva. Na distopia de George Orwell, 1984, o protagonista finalmente sucumbe à loucura do regime opressor quando passa a aceitar que “2+2=5”. A partir daí, sua sanidade já não é mais nem uma memória distante – é um conceito completamente abandonado. Sem aritmética, absolutamente tudo é possível e onde absolutamente tudo é possível nada deve ser real.

Pois que o anúncio do professor de matemática, Ed Nelson, de que a aritmética é inconsistente seria uma das maiores revoluções na história da ciência. Como brinca Steven Landsburg, “seria uma notícia muito mais impressionante que neutrinos mais rápidos que a luz, que o Sul ganhou a Guerra Civil Americana ou que toda a vida na terra foi projetada por um ser inteligente”. Seria muito mais impressionante que o que alguns chamam de Deus.

Professor da Universidade de Princeton, Nelson é um ultrafinitista que vem há muitos anos questionando a consistência dos axiomas de Peano, que formalizam aquilo que chamamos de aritmética. Se tais axiomas forem de fato inconsistentes, realmente existiria algo contraditório como “2+2=5” que não seria fruto de uma mente insana, mas da matemática em si mesma.

Foi no dia 26 de setembro de 2011 que o professor Nelson divulgou o que seria a prova desta inconsistência, em duas versões, prometendo uma outra mais extensa a ser publicada com mais detalhes. Seria o marco de sua carreira e sua entrada para a História.

Em alguns dias blogs científicos especializados em matemática borbulharam de discussão sobre a prova, e em n-Category Cafe Terence Tao, ganhador da medalha Fields, expôs uma falha na prova. Nelson não concordou com a contestação, publicando uma réplica nos comentários, mas ao mesmo tempo Daniel Tausk, professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP também discutiu a falha de forma privada com Nelson.

Em 1 de outubro, menos de uma semana depois de seu anúncio, o professor Ed Nelson publicou o comentário em resposta a Tao:

“Você está certo mesmo, e minha réplica original estava errada.

Obrigado por apontar o meu erro.

Eu retiro o meu anúncio [de ter encontrado uma prova de que os axioma de Peano são inconsistentes]”.

Pense bem nisto. A beleza ética e a estatura moral que fazem um professor respeitado reconhecer em alguns dias que o trabalho em que investiu anos estava simplesmente errado, e a agradecer àqueles que apontaram seu erro, é o lado humano e moral da filosofia de Popper de que só sabemos que algo é científico quando pode ser provado falso.

Se a aritmética representa a pureza de uma realidade objetiva, poucas palavras podem representar tão bem a busca sincera por se aproximar desta realidade quanto “obrigado por apontar o meu erro”.

No caso aqui, especialmente belo porque o erro era justamente sobre a inconsistência da aritmética. Na frieza da objetividade está o lugar comum que fundamenta o que de melhor podemos fazer com tudo aquilo que nos é subjetivo. [via Albener Pessoa, thx!]

Através dos olhos de um estatístico

Simpático vídeo que mostra o mundo “visto através dos olhos de um estatístico”, enviado para o concurso de vídeos da Associação Estatística Americana.

A estatística está ao nosso redor, podendo ser vista na ação de centenas, milhares de pessoas em objetos como a boca do recibo de uma bomba de combustível ou uma porta, à medida que a corrosão ou desgaste acabam exibindo um padrão da curva em sino da distribuição normal. Já o padrão das gotas de óleo pingadas por carros em um estacionamento, ao contrário da curva contínua, mostra o padrão emergente de uma distribuição de Poisson, discreta.

Isso me lembrou de algo engraçado: a estátua Botero de “Adão”, no Time Warner Center em Nova Iorque, tem uma área que acaba brilhando em contraste com o resto da escultura. Um tablóide descreveu a atração de tocar a área como “irresistível”.

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Os homens podem ficar mais animados com as estátuas do cassino “Crazy Girls” em Las Vegas.

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Em algo menos relacionado à estatística da sexualidade, que torna “irresistível” agarrar partes baixas, também me lembrei da história do monge budista que teria deixado a marca de seus pés no chão de madeira em que teria orado diariamente por vinte anos:

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Meu senso crítico duvida um tanto da história, principalmente na forma como as marcas não parecem acompanhar as áreas do pé que realmente suportam mais peso ou deveriam causar maior desgaste na madeira – em especial, as marcas profundas deixadas mesmo pelo dedo mínimo. Ou será que a forma peculiar como ele parece orar poderia responder por esse padrão?

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Estatística aplicada com um tanto de outras ciências permitiria testar essa história! [via The Five Best Statues for Groping]

Série de Fibonazis

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[via GLt]

Em que provamos que π=4

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Você consegue descobrir a falha no argumento acima? Há muitas formas de entender como repetir a remoção de cantos não leva realmente ao comprimento de um círculo, incluindo aquela que se resume a repetir como remover cantos desta forma só lhe deixará com mais cantos, mas “você sempre vai ter espaço pra fazer mais uma dobrinha nas quinas do quadrado, com apenas a ponta encostando no circulo, mas sempre com uma quina que não encosta. E você só diminui a distancia entre a quina e o circulo, mas sempre vai ter a quina ,então nunca vai encostar em todo o perímetro”, como notou o girino.

Essa explicação lhe satisfaz? Pois bem, então por que o método de Arquimedes sim funciona? Há mais de dois milênios, o matemático grego foi o primeiro ser humano na história conhecida a aproximar o valor de pi por um método matematicamente rigoroso que poderia fornecer uma aproximação com a precisão que se desejasse.

Através de polígonos inscritos e circunscritos com números cada vez maiores de lados, Arquimedes pôde estimar esta elusiva constante matemática com as técnicas geométricas simples de que dispunha para polígonos regulares. Clique na imagem abaixo para um gráfico interativo, e aumente o número de lados do polígono para obter aproximações cada vez melhores de pi.

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Pois bem, isto não parece muito diferente do método trollface. Você consegue explicar por que um método funciona e o outro, não?

Uma forma de enxergar o problema é perceber, como notou o Ricbit, que o método trollface de obter o valor do pi poderia gerar um valor arbitrário. Você poderia desenhar uma estrela, e então desenhar estrelas cada vez menores, sempre mais próximas do perímetro do círculo. Ao infinito, você poderia ter algo que de longe pareceria um círculo. Mas o perímetro deste objeto poderia ser maior que 4, de fato, poderia ter um comprimento arbitrário, mesmo… infinito. E, pelo visto, mais pessoas perceberam isto.

É o problema de medir a costa da Bretanha. A aproximação de Arquimedes tende a um limite que é tanto um círculo como equivale ao perímetro de um círculo, ao contrário do método trollface. Agora, aqui está o detalhe fabuloso: o método trollface pode ter comprimento arbitrário, mas sim tende a um limite que é um círculo! Como?

“A convergência de pontos de curvas não implica que seus comprimentos convirjam ao limite do comprimento. Imagine um humano caminhando em uma estrada reta por 1km da seguinte forma: ele dá dois passos para frente, um passo para trás, e então repete o procedimento. Ao final ele terá caminhado 3km ao invés de 1km. Se fizermos o humano e seus passos cada vez menores, seu movimento parecerá cada vez mais contínuo a um observador externo, mas ele ainda terá caminhado 3km ao invés de 1km”, explica um comentário em Hacker News. “Ou alternativamente (se quisermos adentrar o espaço bidimensional) ele poderia dar uma passo à esquerda, então à frente, e então à direita; isto faria com que seu caminho parecesse uma trilha fina que se aproximasse cada vez mais de uma linha reta, mas sempre seria três vezes mais comprido. Algo assim está acontecendo na brincadeira original”.

Em que percebemos que é possível construir um círculo com uma linha de comprimento infinito, sem com isso demonstrar que o valor de pi tenha um valor muito diferente daquele estimado por Arquimedes há um par de milênios. Se isso parece inusitado, a matemática ainda reserva surpresas como o paradoxo de Banach-Tarski.

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PS.: Por favor, corrijam quaisquer sacrilégios matemáticos cometidos neste post.

Serpentes

A sugestão de infinitos anéis entrelaçados, percorridos por três Serpentes, na última gravura do artista holandês M.C. Escher, revisitada em uma animação tridimensional de Cristóbal Vila.

Depois de mergulhar na versão digital, confira como Escher criou originalmente a obra há quatro décadas, gravando em madeira os blocos que imprimiriam o círculo completo em três partes idênticas – cada uma delas com três cores, preto, marrom e verde.

O vídeo do artista criando estas obras desafiando a precisão manual, sempre com a sugestão da perfeição geométrica, é imperdível.

Não por coincidência, o próprio Escher era um admirador da arte abstrata e geométrica que adornava a arquitetura islâmica, tema de outros vídeo de Vila, Isfahan:

Vila talvez seja mais conhecido por um outro vídeo recente sensacional associando a sequência de Fibonacci a formas da natureza.

Benoit Mandelbrot (1924-2010)

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No último dia 14 de outubro, faleceu aos 85 anos o matemático Benoit Mandelbrot. Uma das figuras mais influentes na área nas últimas décadas, Mandelbrot se tornou conhecido como pai da geometria fractal, termo que cunhou e popularizou.

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O amigo girino oferece um tutorial sobre fractais com ênfase em seu aspecto matemático e computacional. O Osame também havia escrito um texto para leigos sobre Fractais: Uma nova visão da natureza.

[Imagens: Mandelbrot recursivo; conjunto de Mandelbrot]

Tributo a Escher: Escadas Interativas

Nico Roig criou este fascinante panorama interativo baseado na obras “Stairs” de M.C. Escher. Clique para apreciar em tela cheia, usando a scrollwheel do mouse para zooms. [via cgr 2.0]

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