A Redação de Riemann

Antes de começar, vale uma apresentação. Eu sou o RicBit, e escrevo há anos no blog Brain Dump, que é sobre ciência e tecnologia. De vez em quando, alguns posts que eu faço lá precisam de alguma demonstração matemática, quando isso acontece eu coloco a demonstração dentro de uma caixa azul, assim quem não está interessado pode pular sem prejudicar o resto do texto. Mas tem gente que gosta mais da caixa azul que do resto! Se você é um desses, aproveite que esse blog novo é para você. Além disso, note que esse é um blog criado em dupla: eu escrevo os textos, mas quem desenha as ilustrações é a minha esposa Ila Fox.

 

Dia desses a Giseli me pediu para escrever alguma coisa sobre o Riemann. Naturalmente eu topei, até porque eu e o Riemann temos uma anedota em comum! Georg Riemann nasceu em 1826, em uma linhagem de pastores luteranos: seu pai, avô e bisavô eram pastores. Desde cedo ele sempre ia muito bem na escola, a ponto do pai dele ter que contratar um professor particular, porque só a escola comum não era o suficiente para ele. Mas isso também não ajudou muito, em certo ponto o tutor disse que estava aprendendo com o Riemann mais do que estava ensinando para ele. A solução foi achar uma escola melhor.

Aos quatorze anos, o Riemann saiu de casa para ir morar com a avó, ficando assim muito mais perto do respeitável Gymnasium de Hannover, o melhor da região. E é aqui que as nossas histórias se interceptam, eu também saí de casa aos quatorze para ir morar com a avó, mas no meu caso foi para estudar na respeitável ETFSP (que hoje em dia chama IFSP).

ricbit_riemann

Quando completou o ginásio, a idéia original do Riemann era estudar Teologia para ser pastor, como mandava a tradição familiar. Mas nesse meio tempo ele teve uma experiência transformadora: ele assistiu a uma palestra do Gauss, onde ele apresentava pela primeira vez o método dos mínimos quadrados. A palestra deve ter sido muito boa, já que, desse momento em diante, o Riemann decidiu que iria seguir a carreira de Matemática.

Depois de conseguir seu doutorado, o Riemann tentou uma posição de professor na mesma universidade do Gauss. Como teste de admissão, o Gauss pediu para que ele escrevesse uma redação. Mas teria que ser sobre um tema que ambos gostassem, então a proposta foi a seguinte: o Riemann iria sugerir três tópicos, e dos três o Gauss escolheria qual seria o tema da redação. Os temas que o Riemann escolheu foram:

  • Séries de Fourier
  • Sistemas de Equações Quadráticas
  • Fundamentos da Geometria

O Gauss acabou escolhendo o terceiro tema, e essa escolha é bem clara quando você conhece o espírito da época. Para explicar por que o Gauss escolheu esse tema, temos que rebobinar até a Grécia antiga.

Os Elementos de Euclides

Pelo menos até metade do século 20, Elementos de Euclides era o segundo livro mais publicado no mundo, perdendo só para a Bíblia (mas hoje em dia ele deve ter perdido para o Harry Potter e o Crepúsculo).

Um dos motivos de ser um livro tão publicado é que trata-se de um livro muito didático, começando de princípios bem simples, e construindo em cima deles teoremas cada vez mais complexos. Tem um motivo para o livro ser assim: Euclides era professor, e os Elementos são a apostila com notas de aula! Provavelmente poucos teoremas do livro são de autoria dele, o mérito do Euclides foi reunir todos os trabalhos da época e colocar em notação consistente. Infelizmente, os originais de onde o Euclides tirou os teoremas foram todos destruídos nos muitos incêndios da Grande Biblioteca de Alexandria.

Pois bem, quais são os princípios básicos usados por Euclides? O livro começa com cinco deles:

  • Por dois pontos você sempre pode traçar uma reta.
  • Um segmento de reta sempre pode ser estendido indefinidamente.
  • Dado um centro e um raio, você sempre pode construir um círculo.
  • Todos os ângulos retos são congruentes.
  • Se você desenhar duas retas que intersectam uma terceira, de maneira que o ângulo interno em um dos lados seja menor que dois ângulos retos, então as duas linhas originais necessariamente se intersectam nesse lado, se você as estender o suficiente.

Você não precisa entender de geometria para ver que tem algo errado aqui. Os quatro primeiros princípios são curtinhos, mas o quinto é enorme. Por que isso acontece? O problema é que o Euclides não conseguiu provar esse fato usando só os princípios anteriores, então ele simplesmente assumiu que era verdade sem provar. Por dois milênios, um monte de matemáticos tentou consertar esse buraco nos Elementos, mas ninguém conseguia. Foi só no século 19 que tivemos algum progresso.

Lobachevsky e Bolyai

Como você tentaria provar a quinta proposição? A maneira mais natural é tentar um ataque por contradição: você assume o contrário do que quer provar, e tenta chegar numa contradição. Assumindo a negação da proposição, você conclui um monte de fatos que são intuitivamente absurdos. Por exemplo, que dado uma reta, existem infinitas retas paralelas a ela passando por um ponto dado, que o teorema de Pitágoras é falso, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que 180 graus.

Mas apesar de serem absurdos, nenhum desses fatos é uma contradição de verdade. Para a demonstração funcionar, você precisa de algum fato que contradiga os quatro princípios iniciais dos Elementos. Contradizer o que vem depois no livro não serve! Foi nesse ponto que, de maneira independente, o russo Lobachesvsky e o húngaro Bolyai tiveram um insight: e se na verdade a quinta proposição fosse independente das demais? Ou seja, tanto faz se você usa ela do jeito original ou a sua negação, o sistema continua consistente do mesmo jeito?

Isso é a base do que hoje chamamos de geometrias não-Euclideanas. Essa era uma idéia chocante para a época, de que podem existir geometrias que funcionam apesar de não seguirem todas as regras dos Elementos. O pai do Bolyai ficou tão orgulhoso com o resultado do filho que mandou uma carta pro Gauss avisando da descoberta. O Gauss respondeu “olha, eu não posso elogiar seu filho, porque eu tive a mesma idéia 30 anos atrás, e seria indelicado elogiar a mim mesmo.”

A Curvatura de Gauss

Tecnicamente falando, era verdade. O Gauss realmente tinha pensado nisso, mas ele nunca publicou o resultado porque achou que era uma bobagem. Eu não tenho como saber o que se passava na cabeça dele, mas imagino que foi algo assim: “Essa geometria é perversa, se eu assumir que ela existe, então a soma dos ângulos internos do triângulo dá menos de 180 graus, e isso só seria verdade se o plano fosse curvo, o que é um absurdo. Por outro lado, eu posso usar isso para definir o que é curvatura de uma superfície! Eu defino então a curvatura intrínseca de uma superfície como sendo uma função de quanto a soma dos ângulos desvia de 180 graus.”

Depois de definir o que é curvatura intrínseca, o Gauss provou uma proposição tão legal que ele chamou de Theorema Egregium (em português é Teorema Incrível, e se o Gauss chamou de incrível é porque a coisa é quente mesmo). O enunciado é assim:

A curvatura intrínseca de uma superfície depende só das distâncias entre os pontos, e não de suas posições“.

Isso parece… óbvio? Quer dizer, imagine que recorto um triângulo de papel reciclado como o abaixo:

triangulo

Se eu mudar a posição dos pontos, por exemplo, fazendo uma translação, obviamente a soma dos ângulos do triângulo não muda:

triangulo (1)

Mas a sacada do Gauss é que você pode torcer o triângulo sem mudar a soma de seus ângulos! Torcer o triângulo sem esticar é a mesma coisa que transladar cada ponto para um lugar diferente.

torcido

Mas peraí, se você torceu o triângulo, então você mudou as distâncias entre os pontos! Por exemplo, nessa imagem, fica claro que o caminho entre os vértices indicados é menor que do seria se o triângulo não estivesse torcido!

tri-fly

Mas para o Gauss, o que importa é a distância que uma formiga faria se estivesse andando no seu triângulo. Formiga não voa, ela precisa andar pelo papel, e por isso a distância que ela percorre é a mesma.

tri-formiga

Com isso, você consegue mostrar que a curvatura do plano é diferente da curvatura da esfera. Eu tentei colocar o meu triângulo numa bolinha roubada da gata Luvinha, e olhe o que acontece: se eu tento forçar um dos lados do triângulo a ficar na esfera, o outro vértice vai para fora.

bolinha1

E se eu tento forçar todos os vértices a ficarem na bola, o papel amassa. Claramente, a distância de formiga entre dois pontos na esfera é sempre menor ou igual à distância de formiga sobre o plano, não importando como eu tento encaixar o plano.

enruga

Mas a parte menos intuitiva é que eu posso colocar o triângulo sobre uma latinha de Schweppes sem amassar o papel! A lateral do cilindro tem curvatura igual à do plano, então os ângulos dos triângulos sobre o cilindro somam sempre 180 graus.

schweppes

Isso tem uma conseqüência prática interessante. Como a curvatura intrínseca do cilindro é igual à do plano, eu posso colocar um rótulo de Coca Zero na mesa sem amassar.

cocazero

Mas não dá para fazer isso com a superfície de um globo! Por isso, todo mapa-mundi necessariamente introduz algum tipo de distorção, como a projeção de Mercator, que distorce horrivelmente a Antártica e a Groenlândia:

mercator

A Redação de Riemann

Agora já temos como entender o que o Riemann escreveu na sua redação. O título era “Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen” (Sobre as hipóteses que formam a base da geometria), e tem uma tradução online para quem quiser ler. Note que não é um paper, é uma redação mesmo! Tem só uma fórmula e o resto é praticamente só texto.

A idéia principal do Riemann é a seguinte: segundo o Lobachevsky e o Bolyai, existem geometrias não-Euclideanas onde o espaço é curvo. Já segundo o Gauss, a curvatura do espaço depende da distância entre os pontos. Então podemos usar a função que mede distâncias para definir a geometria usada.

Por exemplo, na geometria clássica de Euclides, a distância entre dois pontos é dada pelo teorema de Pitágoras, cuja versão diferencial é a abaixo:

dS^2 = dx^2  + dy^2 + dz^2

Mas eu posso extrapolar essa fórmula, por exemplo, adicionando outros tipos de dependências:

\begin{align*} dS^2 = &g_{11}\, dx^2  + g_{12}\, dx\, dy + g_{13}\, dx\, dz  \\        &g_{21}\, dy\, dx + g_{22}\, dy^2 + g_{23} \,dy\, dz  \\        &g_{31}\, dz\, dx + g_{32}\, dz\, dy + g_{33}\, dz^2  \\ \end{align*}

Cada um dos gij pode ser um número qualquer, ou até uma função qualquer! Quando escrito em forma tensorial, essa equação acima define o tensor métrico de Riemann. E a partir dele podemos derivar todas as outras características da geometria, incluindo a curvatura intrínseca em cada ponto.

Quando o Gauss leu a redação, quase esboçou um meio sorriso! (Diz a lenda que essa foi a única vez que Gauss elogiou um aluno em público. Era marrento esse Gauss). O Riemann foi admitido como professor, e trabalhou em diversas áreas, incluindo teoria dos números, onde enunciou a lendária hipótese de Riemann, um problema que está em aberto até hoje (e paga um milhão de dólares para quem resolver).

Mas, para mim, a parte mais profética da redação do Riemann são os parágrafos finais. Eu vou traduzir esse trecho final:

Supondo que os corpos existem independentemente da posição, então a curvatura é constante em todo ponto, e segue pelas medidas astronômicas que não pode ser diferente de zero, ou ao menos que seu inverso seja uma área tal que o alcance de nossos telescópios seja desprezível. Mas se essa independência dos corpos da posição não existe, então não podemos tirar conclusões das relações métricas entre distâncias grandes e infinitamente pequenas; nesse caso a curvatura em cada ponto pode ter um valor arbitrário em três dimensões, desde que a curvatura total de cada porção mensurável do espaço não seja muito diferente de zero.

É isso. Em 1854, o Riemann cantou a bola da Relatividade Geral. Só faltou o Einstein deduzir, sessenta anos depois, que a tal curvatura variável em cada ponto era uma função da massa, e daí segue naturalmente que a gravidade é uma deformação do espaço-tempo. Nada mal para o menino que saiu aos 14 anos de casa para estudar!

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Discussão - 11 comentários

  1. Mais uma ótima aquisição dos Scienceblogs.

    O que acontece se as outras premissas euclidianas são abandonadas? Surge contradições internas?

    []s,

    Roberto Takata

    • Ricardo Bittencourt disse:

      Abandonar ou negar as premissas? Se você abandonar o postulado das paralelas, o resultado é a geometria absoluta:

      http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_geometry

      Se além disso você também abandonar a terceira e a quarta premissa, o resultado é a geometria afim:

      http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_geometry

      Mas o que o povo do século 19 fez não foi abandonar a premissa, foi negar a premissa. Eles negaram a quinta de dois jeitos: ou admitindo infinitas paralelas por um ponto dado (que é a geometria hiperbólica), ou admitindo que não existem paralelas por um ponto dado (que é a geometria elíptica).

  2. Shridhar disse:

    Muito legal esse post! Essa questão da curvatura local na lata de coca-cola (um quase torus, né?) dá uma intuição muito boa pra entender umas coisas de geometria diferencial!

  3. Ricardo Bittencourt disse:

    A intuição é que, para ser um torus, você precisa ter um jeito de passar uma cordinha por dentro do objeto, de modo que ele fique pendurado como num colar. Na latinha não dá pra fazer isso né? Precisaria de mais um furo. Mas o abridor da latinha é um torus, ele é pendurável!

    • Shridhar disse:

      Era nesse sentido mesmo que eu tava pensando… Existe alguma conjectura/teorema do tipo manifolds “periódicos” (deve ter um jeito melhor de definir esse tipo de manifolds… infinitos compactos?) ou deformam a geometria localmente, ou têm um furo?

      • Ricardo Bittencourt disse:

        Aí eu já não sei, é uma boa pergunta pra fazer no math stack exchange!

  4. Mas o que acontece se você fixa o axioma das paralelas – ou na forma original ou uma de suas negativas e deixa o resto livre (p.e., pode ou não haver congruência entre dois ângulos retos)?

    Existe algum tipo de metageometria que mapeia o que ocorre com a geometria quando se muda uma dada premissa de um ou de outro jeito?

    []s,

    Roberto Takata

    • Ricardo Bittencourt disse:

      A geometria afim é assim né? Ela só assume os dois primeiros, e no resto você é livre para escolher o que quiser, inclusive a negação da quarta proposição. Eu nunca fiz as contas pra ver o que acontece, mas você me deixou curioso, depois eu vou tentar desenvolver isso.

      Já uma metageometria que cubra todos os casos eu não conheço não.

  5. Giseli disse:

    Muito bacana o post! Os exemplos foram bem intuitivos, facilita o entendimento para os leigos e legal sua ênfase na contribuição principal do cara. Pena você ter mencionado só brevemente a hipótese de Riemann, quem sabe pode ser assunto para um post futuro 😀 E ler seu post me animou a voltar a estudar essas paradas e quem sabe, voltar a escrever posts no meu blog abandonado.

  6. […] Euler, a identidade trigonométrica fundamental e as equações Cauchy-Riemann (a propósito, leiam aqui também). A fórmula que foi unanimemente julgada como a mais feia foi a fórmula de Srinivasa […]

  7. […] já é suficiente para nosso propósito! Nós temos um sistema que define o que é distância: o tensor métrico de Riemann! Se eu assumir que o cálculo sobre os números reais existe, então eu posso usá-los para […]

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