As desventuras do Teorema de Pick
Em 1900, o matemático austríaco Georg Alexander Pick publicou um artigo de oito páginas intitulado “Geometrisches zur Zahlenlehre” [“Resultados Geométricos sobre a Teoria dos Números”]. O artigo apresentava um teorema interessante e simples, ou como dizem os matemáticos, elegante.
Pick havia encontrado uma maneira de determinar facilmente a área de um polígono simples com a ajuda de coordenadas inteiras. Esteja o polígono P em um plano reticulado — como o de um caderno quadriculado. Se i é o número de pontos reticulares (i.e., determinados pela retícula) no interior do polígono e b o número de pontos reticulares na borda do polígono, então a área, A, é dada pela seguinte fórmula:
Vamos considerar o exemplo da figura a seguir.
Nesta figura, temos um polígono sobre uma reticula. O polígono de bordas pretas tem seu interior preenchido com a cor amarela. Os pontos reticulares do interior do polígono (i) estão destacados em vermelho e os da borda (b) são os pontos pretos. Para encontrar a área desse polígono, basta contar os pontos e aplicar a Fórmula de Pick: A = 40 + 12/2 – 1 = 45. A unidade de área pode ficar a gosto.
No entanto, apesar de ser extremamente elegante e útil, a fórmula de Pick passou quase setenta anos esquecida. O motivo? Continue lendo…
Patentes Patéticas (nº. 85)
Um dos trabalhos dos inventores é encontrar aplicações práticas para descobertas científicas. Ou pelo menos tentar. Tome-se, por exemplo, a topologia, com suas curiosas Fitas de Möbius e Garrafas de Klein. São apenas curiosas e talvez divertidas, mas, na prática, não servem para nada.
Porém, Erl E. Kepner acha que a Garrafa de Klein seria mais apreciada e compreendida se fosse transformada numa banal caneca de café. Ou melhor, em um One-sided beverage vessel [Vaso de bebida de lado único]: Continue lendo…
>Rodando e rodando!
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| Motor hipocicloidal (modelo). |
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| Salamanca (1812) |
>Todos os triângulos são iguais
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Seja ABC qualquer triângulo. Seccione BC em D e a partir de D trace DE em ângulo reto com BC. Seccione o ângulo BAC.(I) Se a bissetriz não se encontrar com DE, [as linhas] são paralelas. Portanto, a bissetriz está em ângulo reto com BC. Logo AB = BC, i.e., ABC é isósceles.
(II) Se a bissetriz encontra DE, ela o faz no ponto F. Ligue FB, FC e a partir de F trace FG e FH em ângulos retos com AC e AB.
Logo, os triângulos AFG e AFH são iguais, pois eles têm o lado AF em comum e os ângulos FAG e AGF são iguais aos ângulos FAH e AHF. Portanto, AH = AG e FH = FG.
Similarmente, os triângulos BDF e CDF são iguais pois BD = BC, com DF em comum e os ângulos em D são iguais.
Similarmente, os triângulos FHB e FGC são retângulos. Logo, o quadrado de FB = a [soma dos] quadrados de FH e HB; e o quadrado de FC = a [soma dos] quadrados de FG e GC. Assim, FB = FC e FH = FG.
Portanto, o quadrado em HB = o quadrado em GC. Logo, HB = GC. Também se prova que AH é igual a AG. Portanto, AB = AC, i.e., ABC é isósceles.
Portanto o triângulo ABC é sempre isósceles. Q.E.D.
É um punhado de material cósmico, composto principalmente de carbono e hidrogênio, um animal, cordado, mamífero, primata, hominídeo pensante (cof,cof...) que não tem a mínima ideia do que está fazendo no mundo (ou do que é o mundo) e de quem é.