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16 de mai de 2012
Se você nasceu em 30 de novembro de 1999, parabéns! Porquê — você deve estar se perguntando — se ainda estamos em maio? Acontece que, segundo o matemático Phil Grizzard, para uma pessoa nascida em 30/11/99 qualquer data posterior sempre vai registrar precisamente sua idade. Por exemplo, em 16/05/12 tal pessoa tem exatos 12 anos, 5 meses e 16 dias de idade.
Grizzard, da Illinois University State, chama tais pessoas de stopwatch baby [bebê cronômetro]. Ele ressalta um porém. Para fazer sentido no mês de dezembro é necessário zerar o mês e acrescentar 1 ao ano. Assim, no natal desse ano, um adolescente-cronômetro vai ter 25/0/13 — ou seja, 13 anos e 25 dias.
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14 de mai de 2012
Mais um curioso paradoxo divisado pelo matemágico Raymond Smullyan. Considere dois inteiros positivos, x e y. Um é o dobro do outro, mas não sabemos qual é. Assim, conclui-se que:
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Se x é maior que y, segue-se que x = 2y e a diferença entre x e y é igual a y. Por outro lado, se y é o maior valor, então x = 0,5y e a diferença entre as incógnitas é expressa por y – 0,5y = 0,5y. Como y é maior que 0,5y, podemos dizer genericamente que, se x > y, a diferença de x e y é maior do que a diferença de y e x, se y > x.
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Se d é a diferença entre x e y, isso é o mesmo que dizer que d tem o mesmo valor do menor número. Assim, geralmente, o excesso de x em relação a y, se x > y, é igual ao excesso de y em relação a x, se y > x.
As duas conclusões possíveis estão em clara contradição. Qual é o problema?
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7 de mai de 2012
A pé, um homem já percorreu 4/7 de uma estreita ponte ferroviária quando percebe que um trem se aproxima. Para sair do caminho, ele tem duas opções: correr em direção ao trem ou no sentido oposto à composição. Independente da escolha, ele consegue chegar a um local seguro e não é atropelado.
Aí vem a pergunta: se ele corre a 20km/h, qual é a velocidade do trem?
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9 de jan de 2012
Sendo um dos mais famosos matemáticos franceses de sua época, era natural que Jacques Hadamard (1865-1963) recebesse várias correspondências de aspirantes a matemáticos cheias de dúvidas ou de teorias malucas. Boa parte daquelas cartas geralmente era ignorada por Hadamard, até que ele recebeu uma prova brilhante de um tal André Bloch. Hadamard ficou tão fascinado pela elegância da prova que decidiu conhecer aquele sujeito e convidá-lo para um jantar. Uma vez que eles só mantinham contato através de cartas, Hadamard escreveu de volta para o endereço do remetente: 57, Grand Rue, Saint-Maurice. Em resposta, Bloch só informou que estava impossibilitado de sair, mas convidou o grande matemático a lhe fazer uma visita.
Foi só ao chegar ao endereço que Jacques Hadamard descobriu porque o brilhante colega não poderia sair: o que ficava na 57, Grand Rue, Saint-Maurice não era uma casa, mas um hospital. Ou melhor, um hospício, o Asilo de Lunáticos de Charenton. Apesar da imensa surpresa, Hadamard foi ao encontro de Bloch e em meio a uma longa conversa sobre temas matemáticos, ele conheceu a história do matemático lunático. Continue reading “O matemático lunático” »
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11 de dez de 2011
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Em 1933, o matemático de Harvard George David Birkhoff (1884-1944) chegou à conclusão de que é possível quantificar essa coisa subjetiva chamada beleza. A ideia básica, afirmava ele, é que M = O/C, onde M é a “medida estética”, O é a ordem e C, a complexidade.
Elaborando esse princípio em fórmulas específicas, Birkhoff definiu o quadrado como o polígono mais agradável e a tríade maior como o mais deleitoso acorde diatônico. Dos oito vasos que ele considerou, uma peça Ming obteve a melhor nota, com M = 0,80. Em matéria de poesia, a abertura de
Kubla Khan, de Samuel Taylor Coleridge (1772-1834), seria belíssima, pois tem o valor de M igual a 0,83. Os mesmos princípios, segundo Birkhoff, podem ser aplicados à pintura, à escultura e à arquitetura. Segundo o matemático,
Esse tipo de uso da fórmula leva diretamente a certas máximas estéticas bem conhecidas:
1. Unifique tanto quanto possível, sem perda de variedade (isto é, diminua a complexidade C sem decrescer a ordem O).
2. Alcance variedade tanto quanto possível, sem perda de unidade (isto é, aumento de O sem crescimento de C).
3. Essa “unidade na variedade” deve ser encontrada em diversas partes bem como no todo (isto é, a ordem e a complexidade das partes entram na ordem e complexidade do todo).
“Agora parece-me que”, concluiu ele, “a postulação do gênio em qualquer sentido místico é desnecessária. A fase analítica aparece como parte inevitável da experiência estética. Quanto mais extensiva essa experiência for, mais definida se torna a análise.”
No entanto, a Equação (ou Medida) de Birkhoff não deixa de ser mais uma tentativa inútil de quantificar com precisão matemática o que é belo. Afinal, tanto a “medida estética” quanto a ordem e a complexidade podem ser conceitos extremamente subjetivos e, portanto, difíceis de definir objetivamente e mesmo de quantificar. É muito provável que o que Birkhoff calculou como belo — seja o quadrado ou o vaso Ming —, fosse, na prática, apenas um reflexo de suas preferências pessoais.
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23 de set de 2011
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Em 1980, William J. O’Donnell, professor de matemática em uma escola do Colorado, estava explicando que
quando um estudante levantou a mão e disse que havia notado que
“Minha reação imediata”, escreveu O’Donnell em uma carta à revista especializada Mathematics Teacher [Professor de Matemática], “foi responder que esse estudante havia caído em um caso especial, onde esse algoritmo funcionava. No entanto, mais tarde, um trabalho de questão de minutos revelou que essa técnica funciona para todas as frações, desde que a, b, c e d sejam inteiros. Assim:
“Embora esse método possa ser convenientemente aplicado em qualquer ocasião, ele não oferece muitas vantagens ao estudante quando a não é divisível por c e b não é divisível por d.”
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5 de set de 2011
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Ao longo do século XIX, vários autores anunciaram, cheios de confiança, que haviam encontrado um valor certo e exato de piiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii pi. Infelizmente, houve bastante divergência, pois cada um deu a sua resposta. Buscando resolver de uma vez por todas o problema de π, DUDLEY (1977), matemático da DePauw University, resolveu procurar um consenso através da análise de uma seleção de 50 valores de π ordenados pelo ano do anúncio:
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| É mais ou menos por aí: 3,04862 < π < 3,200000 |
Surpreendentemente, Underwood Dudley descobriu uma tendência preocupante: o valor de π está diminuindo. Para encontrar o valor de pi para cada ano, Dudley usou a fórmula πt = 4,59183 – 0,000773t, onde t é o ano do cálculo do valor exato de pi. Fazendo as continhas, verifica-se que 1876 foi o ano com o pico do pi, co’ pi mais exato: 3,145926535. Desde então — admitindo-se um ritmo constante, é claro — o valor de π vem declinando.
Para ser bem claro, isso pode ter consequências estrogonoficamente catastróficas:
Quando πt for igual a 1, [alerta Dudley] a circunferência de um círculo será igual ao seu diâmetro. Assim, todos os círculos vão entrar em colapso. O mesmo ocorrerá com as esferas (uma vez que elas têm secções circulares), entre elas a Terra e o Sol. Será, de fato, o fim do mundo, que vai acontecer em 9 de agosto de 4646, exatos 3 minutos em 27 segundos antes das 9 da manhã.
Entretanto, há uma boa notícia (pelo menos para os seus netos): “Será particularmente fácil calcular circunferências de círculos em 2059, quando πt= 3”. A cotação de π para 2011 é π 2011= 3,032737.
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Bibliografia
- DUDLEY, Underwood. “πt”, artigo publicado em Journal of Recreational Mathematics 9:3, março de 1977, p. 178
Publicado
18 de ago de 2011
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Vamos jogar um joguinho bastante simples. Você lança uma moeda e se sair cara, eu te dou R$ 1,00. Se sair cara de novo, eu te pago R$ 2,00 e se o resultado se repetir novamente, eu dobro o valor para 4 reais, depois 8 e assim por diante. Quando sair coroa, o jogo acaba e você pode ficar com o que já ganhou.
Mas como eu não sou bobo de assumir o risco de te dar um real à toa, eu cobro ingressos dos jogadores. Porém, qual seria um valor justo para cobrir meus custos? Surpreendentemente, parece que eu deveria cobrar uma quantidade infinita de dinheiro. Acontece que a cada novo lance, sua chance de sucesso é 1/2, mas seu possível prêmio dobra. Assim, o prêmio total que você pode esperar — a soma dos prêmios multiplicados pela chance de serem ganhos — é infinito:
P = (1/2 × 1) + (1/4 × 2) + (1/8 × 4) + … = ∞
Nicholas Bernoulli (1695-1726) foi o primeiro a descrever esse problema em 1713, junto com o primo Daniel Bernoulli (1700-1782). Em 1724, quando Nicholas passou uma temporada em São Petersburgo, apresentou o problema ao czar Pedro, o Grande (1672-1725), que o batizou com o nome da capital de seu império.
Uma possível solução é que esse jogo ignora a psicologia humana e a condição social dos jogadores. Nós estamos considerando apenas o valor monetário do prêmio como algo maior do que o valor que a vitória tem para nós. E ouro vale mais para um miserável sem-teto do que para um bilionário.
Uma vez que acumulamos certa soma, o apelo para obter uma riqueza maior começa a diminuir. Mesmo que não percamos nada, as chances de ganhar são cada vez menores e assim vamos parando de arriscar. A não ser, é claro, que você seja desses que pensam que quanto mais dinheiro melhor, mesmo que não possa (ou nem queira) gastá-lo.
“Os matemáticos”, segundo Gabriel Cramer (1704-1752), “estimam o dinheiro em relação à sua quantidade e os homens de bom-senso em proporção ao uso que podem fazer dele.”
Publicado
25 de jul de 2011
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Quais os maiores números que você já multiplicou de cabeça? Certa vez o jovem alemão Johann Martin Zacharias Dase (1824-1861) teria multiplicado dois números de 100 dígitos. De cabeça. Ele levou 8 horas e 45 minutos para terminar a operação. Entretanto, outro prodígio matemático, Gauss (1777-1855), estimou que um matemático hábil, usando apenas papel e lápis, levaria só metade daquele tempo para cumprir a mesma tarefa de Dase. Mas Zacharias não era um matemático e mal aprendeu o básico de teoria matemática quando tentaram lhe ensinar.
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| Zacharias Dase: “Eu não preciso de lápis e papel. Beijos.” |
Ele simplesmente contava, com uma rapidez incrível. Aliás, ele talvez nem contasse. Segundo Douglas Hofstadter em Gödel, Escher, Bach, “[...] ele tinha um senso de quantidade sisnistro. Isso é, ele podia apenas ‘dizer’, sem contar, quantas ovelhas ovelhas havia num campo ou quantas palavras em uma sentença e assim por diante [...]”
Em 1844, o prodígio de Hamburgo chegou a calcular de cabeça π com 200 casas decimais, um recorde para a época. Apesar de ganhar fama em toda a Europa como calculador mental, a habilidade de Dase não lhe trouxe dinheiro algum. Portador de epilepsia desde a infância, ele fez apresentações de suas habilidades em Berlim, Mannheim e Viena, onde chegou a trabalhar temporariamente no Departamento Ferroviário para se manter.
Depois de muitos anos e pouco dinheiro, Zacharias Dase voltou para Hamburgo. Ele finalmente havia sido reconhecido e convidado para atuar como matemático de tempo integral na Academia de Ciências de Hamburgo. Infelizmente, ele morreu aos 37 anos, pouco antes de começar a trabalhar profissionalmente.
Pois bem, o tempo passou e mostrou que até Gauss pode ter se enganado em sua defesa do lápis e papel. E, até onde se sabe, não estamos falando de computadores eletrônicos ou inteligências artificiais, mas de alguém que trabalha com eles. Em 17 de dezembro de 2004, o cientista da computação e pesquisador de inteligência atrificial francês Alexis Lemaire, então com 24 anos, computou mentalmente a raiz décima-terceira de um número que também tinha 100 dígitos.
Abram alas, por favor:
3.893.458.979.352.680.277.349.663.255.651.930.553.265.700.608.215.449.817.188.566.054.427.172.046.103.952.232.604.799.107.453.543.533.
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| Alexis Lemaire: “Por favor, só mais um segundinho.” |
Embora fosse uma operação completamente diferente da efetuada por Dase no século XIX, Lemaire deu a resposta correta — 45.792.573 — em apenas 3,625 segundos. Mas o recorde parece tão incrível que ainda não foi reconhecido oficialmente. O recorde anterior oficialmente aceito era de 88 segundos, ou pouco mais de um minuto. Os matemáticos argumentam que como não há uma forma padrão de estabelecer ou medir um tempo-padrão para a extração de raízes de grandes números aleatórios, não há como fazer novas medições. Assim, Lemaire pode ser o último recordista, numa linhagem que remonta ao próprio Zach Dase e suas quase nove horas. Sem papel, é claro.
Publicado
18 de jul de 2011
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James Joseph Sylvester (1814-1897) era um brilhante matemático inglês mas, de acordo com diversas fontes, também foi um poeta de pé quebrado. O
Dictionary of American Biography [
Dicionário de Biografia Americana] informa delicadamente que “a maioria dos versos originais de Sylvester mostravam mais ingenuidade que senso poético.”
O que lhe faltava mesmo era variedade. Um livro de poesias de Sylvester, Spring’s Debut: a Town Idyll, contém 113 versos — todos eles rimando com in. Felizmente, tal livro foi impresso apenas para seu autor. Pior ainda foi considerado “Rosalind”, um poema de 400 versos no qual todos rimam com o nome da personagem-título.
Em
Teaching and History of Mathematics in the United States [
Ensino e História da Matemática nos Estados Unidos], Florian Cajori conta que certa vez Sylvester foi convidado a recitar “Rosalind” no Instituto Peabody, em Baltimore, onde o matemático poeta trabalhava como professor no começo dos anos 1880.
Entretanto, J.J. começou lendo todas as notas de rodapé explicativas — para não ter que interromper o ritmo do poema — e percebeu, tarde demais, que apenas essa introdução havia lhe tomado uma hora e meia. “Depois,” conclui Cajori, “ele leu o poema em si para o que sobrara da sua audiência.”
É um punhado de material cósmico, composto principalmente de carbono e hidrogênio, um animal, cordado, mamífero, primata, hominídio pensante (cof,cof...) que não tem a mínima ideia do que está fazendo no mundo (ou do que é o mundo) e de quem é.