Dobro ou metade?
Mais um curioso paradoxo divisado pelo matemágico Raymond Smullyan. Considere dois inteiros positivos, x e y. Um é o dobro do outro, mas não sabemos qual é. Assim, conclui-se que:
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Se x é maior que y, segue-se que x = 2y e a diferença entre x e y é igual a y. Por outro lado, se y é o maior valor, então x = 0,5y e a diferença entre as incógnitas é expressa por y – 0,5y = 0,5y. Como y é maior que 0,5y, podemos dizer genericamente que, se x > y, a diferença de x e y é maior do que a diferença de y e x, se y > x.
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Se d é a diferença entre x e y, isso é o mesmo que dizer que d tem o mesmo valor do menor número. Assim, geralmente, o excesso de x em relação a y, se x > y, é igual ao excesso de y em relação a x, se y > x.
As duas conclusões possíveis estão em clara contradição. Qual é o problema?
O Paradoxo do Chá
Você já tomou chá feito com folhas (e não com saquinhos)? Se sim, você já notou como as folhas de chá têm um estranho comportamento enquanto você as mexe com uma colher na água quente? Em caso negativo, da próxima vez que for fazer seu chá, use folhas e observe: elas tendem a migrar para o centro e para o fundo da xícara, ao contrário do que seria de se esperar quando se tem uma força centrífuga espiral. Não está claro desde quando o fenômeno é conhecido (nem se foi notado por Lewis Carroll), mas ele foi solucionado por ninguém menos que Albert Einstein em 1926.
Mas não é preciso ser um gênio para entender o fenômeno. Todo mundo sabe que agitar o líquido na xícara o faz girar dentro dela. Para que se mantenha essa trajetória curvada, uma força centrípeta (para dentro) é necessária. Isso se dá através de um gradiente de pressão externo (pressão maior fora do que dentro).
Entretanto, perto do fundo da xícara e das bordas, o líquido sofre os efeitos da fricção. Não importa quão lisa pareça a sua xícara, ela sempre vai ter algum atrito com a água do chá. Nesse ponto, a força centrífuga (para fora) enfraquece, pois a velocidade do líquido cai e o gradiente de pressão torna-se predominante.
Porém, graças à força centrífuga é que a pressão é maior ao longo da borda do que no centro da xícara. Se o líquido como um todo rotacionasse como um corpo sólido, a força centrípeta anularia a centrífuga e não haveria qualquer movimento quer para dentro quer para fora. (E você bebe porque é líquido; se fosse sólido, comê-lo-ia).
No fundo da xícara, a rotação também é mais lenta. Portanto, o gradiente de pressão cria um fluxo para dentro. Na superfície, o líquido move-se como o vemos: para fora. É esse fluxo secundário que faz as folhas agruparem-se no centro, depois em cima, nas bordas, e perto do fundo. Como as folhas são pesadas demais para ficar na superfície, elas tendem a ficar no meio.
>O paradoxo do acionista honesto
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| Um acionista em meio a uma crise de consciência? |
Suponha que você tenha ações de uma companhia e que você descobriu que ela age de maneira imoral (digamos que ela explore mão-de-obra em condições de escravidão). Você decide, então, vender seus títulos. Mas será que isso é moralmente correto?
Mesmo renunciar à propriedade das suas ações, devolvendo-as à empresa, pode ser imoral. Isso levaria a uma redistribuição do valor da empresa entre os demais acionistas, o que aumenta a culpabilidade moral deles. Nesse caso, é possível ter uma saída honesta do mercado de ações?
(Steve M. Cahn, “A Puzzle Concerning Divestiture” [“Um Problema em Relação ao Desinvestimento”], Analysis, 1987)
>Um Paradoxo Linear
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Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
…ad infinitum…
Em outras palavras, suponha que em algum lugar dessa sequência infinita de “Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.” haja uma enésima sentença que seja verdadeira. Disso decorrem duas coisas:
- (a) a enésima-primeira sentença é falsa e
- (b) qualquer sentença que esteja além da enésima-primeira é falsa também.
Só que, segundo (b), o que a enésima-primeira sentença diz — que todas as sentenças que estão abaixo dela são falsas — é verdadeiro e, portanto, ao contrário do que se conclui por (a), a enésima-primeira sentença é verdadeira. Portanto, qualquer sentença dada na sequência é falsa. Mas as sentenças subsequentes a qualquer sentença dada são todas falsas, o que valida a verdade da sentença dada como verdadeira.
>O Paradoxo de São Petersburgo
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P = (1/2 × 1) + (1/4 × 2) + (1/8 × 4) + … = ∞
Uma vez que acumulamos certa soma, o apelo para obter uma riqueza maior começa a diminuir. Mesmo que não percamos nada, as chances de ganhar são cada vez menores e assim vamos parando de arriscar. A não ser, é claro, que você seja desses que pensam que quanto mais dinheiro melhor, mesmo que não possa (ou nem queira) gastá-lo.
>O paradoxo do corte de custos
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Eu estou apaixonado pelo paradoxo do empresário que devo a Lisa Collier: O presidente de certa companhia ofereceu uma recompensa de $ 100 para qualquer empregado que apresentasse uma sugestão sobre como a empresa poderia economizar dinheiro. Sugestão de um empregado: “Eliminar a recompensa”. — Raymond Smullyan
>Morte Eterna
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Aparentemente, um escritor e psicólogo alemão descobriu o caminho para a vida eterna há quase um século:
Leinbach descobriu uma prova de que, na realidade, a morte não existe. Está além de questionamento, diz ele, que não apenas no momento do afogamento, mas em todos os momentos de morte de qualquer natureza, o sujeito vive novamente toda a sua vida com uma rapidez inconcebível. Essa vida relembrada também deve ter um último momento, e esse último momento também deve ter o seu, e assim por diante. Portanto, o próprio ato de morrer é uma eternidade e, de acordo com a teoria dos limites, pode-se aproximar da morte, mas nunca pode-se alcançá-la.— Arthur Schnitzler, Flucht in die Finsternis [Fuga na Escuridão], 1931
Então será que Arthur Schnitzler não é o verdadeiro Dom Cobb?
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| “Uma morte, dentro de uma morte, dentro de uma morte…” |
>Um Paradoxo-trollagem: o Quadro-negro de Smullyan
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— Você acredita naquela sentença? — pergunta o primeiro homem.
— Claro que não — responde o segundo — Apenas um idiota acreditaria naquela sentença.
>O Paradoxo da Lealdade
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Você tem lealdade por alguém quando está ligado a essa pessoa por algum laço: de família, de amor, de amizade, de trabalho, ou de propósito. Lealdade é um ideal e, idealisticamente, você sente que tem um dever com essa pessoa. Mas ao apoiá-la incondicionalmente, você se submete ao bem-estar de outro indivíduo — e isso é o oposto do idealismo, é um anti-ideal.
>Nevermore!
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Ver uma maçã vermelha deveria aumentar sua confiança na ideia de que todos os corvos são negros.
É um punhado de material cósmico, composto principalmente de carbono e hidrogênio, um animal, cordado, mamífero, primata, hominídio pensante (cof,cof...) que não tem a mínima ideia do que está fazendo no mundo (ou do que é o mundo) e de quem é.