Órbitas, padrões e divindades

terravenus

Essa figura apareceu na minha timeline um dia desses. As páginas que estavam compartilhando diziam quer era das orbitas de Vênus e da Terra durante 8 anos. Eu achei estranho porque, pra mim, o desenho das órbitas de Vênus e da Terra durante 8 anos são só duas elipses.

Fui ver o que era isso.

A imagem foi criada por Howard Arrington, inspirado no livro A Little Book of Coincidence, de John Martineau, que trata de relações geométricas. O que ela mostra, na verdade, são linhas que ligam a Terra até Vênus ao passar do tempo. Como os planetas completam uma volta ao redor do Sol em tempos diferentes, o padrão formado se repete a cada 8 anos.

Nesse vídeo o ponto médio da linha que liga os dois planetas é usado para traçar o desenho, e fica mais fácil de ver como a figura se forma.

E esses são os desenhos que Arrington fez com outros planetas:

Terra e Marte

marteterra

Saturno e Júpiter

saturnojupiter

Terra e Mercúrio
terramercurio

Urano e Saturno
uranosaturno

 

Nos comentários, muitos associaram a figura criada pelas linhas que ligam os dois planetas com divindades. A ideia de que somente um ser com poderes especiais, um Deus, poderia colocar os planetas nas posições “exatas” para formar os desenhos.

Aqui, as divindades somos nós. É a geometria das órbitas, a distância entre os dois planetas e o tempo que levam para dar uma volta em torno do Sol, que cria naturalmente os padrões, mas foi um humano que resolveu que traçaria uma linha entre dois planetas, é a nossa interpretação que nos faz considera-los como figuras bonitas (ou feias, eu acho o de Vênus e da Terra mais bonito que o de Terra e Mercúrio, por exemplo).

As pessoas gostam de padrões e simetrias. Não somos robôs. Reconhece-los é tão humano quanto uma mandala divina, ou um pentagrama satânico.

Estacionando com matemática

 

Estacionar é como tentar encontrar alguém para um relacionamento. Você até dá algumas voltas procurando por uma boa vaga, mas no fim das contas acaba parando na que está disponível.

Duas categorias de profissionais, os flanelinhas e manobristas, se encarregavam de auxiliar aqueles com poucos pontos de experiência na habilidade “manobrar máquinas motorizadas”. Agora chegou a vez dos matemáticos.

austin

A pedido da Vauxhall Motors o matemático Simon Blackburn, da Universidade de Londres, desenvolveu um modelo para estimar qual a menor distância entre dois carros o motorista precisaria para fazer a baliza (aquele procedimento de estacionar entre dois carros, entrando na vaga de ré, com um único movimento de S).

E o resultado foi esse:

blacburneq

Apesar de parecer algo assustador, a fórmula é simples, e originária do clássico Teorema de Pitágoras. Sim, aquele mesmo do colégio, que diz que “o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos”.

O espaço mínimo da vaga é representado por D. O comprimento do carro é DC.

Blackburn usou os arcos de círculo que o carro percorre quando o carro está fazendo o movimento de “S” da baliza.

blackburnfig

EX = R, EF = L, AE = K, GH = W. Queremos saber AH = D.

 

Se o carro está se movendo com o volante todo virado para um lado, ele irá percorrer a menor trajetória circular possível. O raio desse círculo é o R da equação. A distância entre eixos é L. A distância da roda dianteira, até o para-choque dianteiro é K. E a largura do carro estacionado na sua frente é W.

O carro mais vendido no Brasil é Gol, então vamos usa-lo para os cálculos.

R = 5,4 m
L = 2,4 m
K = 0,7 m
W = 1,6 m  (considerando que o outro carro também é um Porsche Gol)

blackburnresult

Então, o espaço necessário para a baliza com um Gol é 5,5 m (3,9 m do comprimento do carro, mais 1,6 m do resultado do modelo).

O matemático Jerome White achou o modelo do Simon Blackburn muito conservador, e resolveu aperfeiçoa-lo.

Além das variáveis do primeiro modelo, White também usa a distância que o motorista pretende deixar entre o carro e o meio fio, o ângulo que o carro faz com o meio fio durante a manobra, e a largura dos três carros envolvidos. No site há um aplicativo Java para simular a baliza.

whitemodel

Utilizando os dados do Gol, e supondo que o carro ficará 20 cm do meio fio, a distancia necessária pra estacionar é de 4,8 m. (novamente, 3,9m do Gol, mais 0,9 do modelo.)

No modelo do Jerome White precisamos de um espaço 70 centímetros menor que no modelo do Blackburn, para estacionar um Gol.

Em um ponto, ambos modelos concordam. Tendo um número ilimitado de manobras, é possível estacionar em qualquer vaga que tenha, pelo menos, o tamanho do seu carro. E com os sistemas automáticos para estacionamento, não precisamos mais de manobristas e flanelinhas. Nem matemáticos.

 

P.S.

Alguém afim de calcular quanto espaço é necessário pra estacionar um Smart? 😛

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Referências:

Modelo do Blackburn: http://personal.rhul.ac.uk/uhah/058/perfect_parking.pdf

Modelo do White: http://www.talljerome.com/NOLA/parallelparking/

Ficha Técnica do Gol: http://quatrorodas.abril.com.br/imagens/reportagens/633_gol_tx1.jpg

Tem Ciência nisso… n°3

As origens do Poker são controversas, fato é que hoje é um dos jogos de cartas mais populares do mundo. Do Saloon ao Casino Royale, ou no fim de semana em sua sala, há muita matemática e estratégia escondida no jogo, ainda que este siga com um estigma de “jogo de azar”.

Pra quem não conhece, algumas regras básica. Se você já conhece, pode pular para a foto do gatinho.

O objetivo comum entre todas as variantes é obter a melhor combinação de cinco cartas. Dá menor para a maior:

  • Carta alta: Vence aquele com a carta mais alta em jogo.
  • Par: Duas cartas do mesmo valor.
  • Dois pares: Sem mistério, são dois pares mesmo.
  • Trinca: Três cartas do mesmo valor.
  • Straight: Cinco cartas em sequência.
  • Flush: Cinco cartas do mesmo naipe.
  • Full House: Uma trinca e um par.
  • Quadra: Quatro cartas do mesmo valor.
  • Straight Flush: Uma sequência qualquer, com cartas do mesmo naipe.
  • Royal Flush: Uma sequência de 10 até A, com cartas do mesmo naipe.

No Texas Hold’em, a variante mais jogada no mundo, cada jogador recebe duas cartas. Uma rodada de apostas é feita, e para aqueles que continuam no jogo, abrem três cartas comunitárias na mesa (o flop). Uma nova rodada de apostas, e então uma quarta carta é aberta na mesa (o turn). Novamente as apostas são feitas e então a última carta é aberta (river). Se os jogadores resolverem continuar na mão, as cartas são mostradas. Das sete cartas é feita a melhor combinação de cinco, seja usando as duas, uma, ou mesmo nenhuma carta originalmente recebida pelo jogador.

Foto do Gatinho

Da Combinatória obtemos as probabilidades no Poker. Um baralho tem 52 cartas, 13 de cada naipe. São 2.598.960 mãos possíveis. A probabilidade de sair um Royal Flush é de 0,00015%. Uma sequência vai ocorrer 0,39% das vezes. Um par tem 42,3% de chances de aparecer.

Vale lembrar que no Texas Hold’em cada jogador recebe inicialmente duas cartas. De fato, a maior parte das mãos são definidas antes mesmo da abertura do flop, neutralizando o efeito da aleatoriedade na distribuição das cartas.

Existem 1326 combinações possíveis de mãos iniciais. Mas, como antes do flop não há diferença de valor entre uma mão de Ás de Espadas e Rei de Copas ou Ás de Ouro e Rei de Paus, as combinações de mãos inciais podem ser reduzidas para 169. Portanto um par de Ás, que possuí cerca de 85% de chances de vitória contra outra mão aleatória, será recebido como mão inicial a cada 220 mãos.

Um jogador de Poker joga contra (ou com) a matemática. A cada roda de apostas ele calcula se é lucrativo ou não continuar em uma mão, baseado nas probabilidades daquela mão ser vencedora. A longo prazo não vale a pena comprometer uma fração da banca que seja superior a probabilidade daquela mão vencer.

Também é preciso saber quais as chances existentes de que apareça nas cartas comunitárias alguma que agregue valor à mão do jogador. Se você, por exemplo, segura duas cartas de Copas, e outras duas aparecem no flop, as perguntas devem ser: qual a probabilidade de abrir uma carta de Copas no turn ou no river? Quanto devo investir de minha banca sobre essa probabilidade?

Entretanto, como toda situação probabilística, o Poker não está livre da variância. Um 7 e 2 (pior mão do jogo), vencerá algumas vezes o poderoso AA.

Greg Merson – Vencedor do WSOP 2012

 

Conhecido um pouco da matemática do jogo, vamos para a evento principal da World Series of Poker de 2012, considerado o torneio mais importante do mundo. Dos mais de 6000 inscritos, nove foram para a mesa final e o vencedor, Greg Merson, recebeu um premio de mais de oito milhões de dólares, além do tradicional bracelete de campeão.

Ao todo foram jogadas 399 mão na mesa final, e 57,6% foram decididas no antes flop. Somente em 52 mãos as cartas foram mostradas, e em apenas 4% das jogadas alguém arriscou todas as suas fichas (o famoso all in).

Das 29 mãos em que alguém venceu no showdown (quando as cartas de todos os jogadores envolvidos são mostradas, e vence aquele com a melhor combinação) em 10 o perdedor é quem tinha a melhor mão inicial. Quando levado em conta apenas showdowns que eliminaram jogadores do torneio, todos foram vencidos pela melhor mão inicial.

Assista ao vídeo da última mão:

Merson aposta tudo, e força Sylvia, com menos fichas a fazer o mesmo caso queira continuar na mão. Nessa situação, se Jesse Sylvia vence a mão, dobra suas fichas e o jogo continua, se perde, é eliminado do torneio e a vitória fica com Greg Merson. Após um tempo pra decidir, Sylvia paga.

Merson mostra K 5 de Ouros, tendo 55% de chances de terminar o showdown com a melhor mão, contra os 45% do Q J de Espadas do Jesse Sylvia. As chances de Sylvia são todas as cartas que melhorem a sua mão, ou seja, todos os Q e J restantes do baralho, mais as cartas de Espadas (flush) e as cartas que possibilitem uma sequência.

Nada disso acontece no flop, e as chances de Merson aumentam. Caso duas cartas de espadas tivessem aparecido no flop, por exemplo, as probabilidades teriam virado para 54% x 46% em favor do Sylvia.

Com Sylvia sem chances de conseguir uma sequencia ou cinco cartas do mesmo naipe, Merson chega ao turn com 76% de chances de vencer. Um Q ou J faria Sylvia ir acima dos 70%. No river, nem J nem Q, e Merson é declarado o vencedor.

Pra terminar, pulamos agora do mundo real para a ficção. Assita:

Bond tem a mão inicial com menor chance de vitória, apenas 12%. O jogador com KQ é quem sai na frente, com 35%.

O flop abre e o jogador com 88 bate a trinca, virando o favorito com 47% de chances de vencer. O vilão tem dois pares, provavelmente imaginando ter uma boa mão. Enquanto isso, Bond (28%) e o jogador restante aguardam por mais uma carta de espadas para completar o flush.

O turn mostra um 4 de Espadas. Bond completa o Straight Flush e não há mais chance matemática de vitória para os outros jogadores. O river ainda vai mostrar outro Ás, dando falsas esperanças de vitória ao vilão com o Full House.

– Do you expect me to talk?

– No, Mr. Bond. I expect you to fold

Rapidinha de Finados

Estava eu aqui aproveitando o feriado pra montar um banco de dados que será útil em um futuro post do Nightfall in Magrathea, e entre um e outro acesso ao Facebook, vejo essa imagem compartilhada:

 

 

E aí, qual a resposta?

 

 

Existem várias dessas brincadeiras por aí. Utilizam a ordem das operações matemáticas e o fato de lermos da esquerda pra direita para tentar induzir ao resultado errado.

Quem resolve a questão como 3x(3+3) encontra 18, o resultado errado. Mas dessa vez a brincadeira tem uma sutileza, que faz a solução (3×3)+3 = 12 também estar errada.

RÁÁ! O fatorial. Então, 3! = 3x2x1 = 6. E a solução correta para o problema proposto é 15.

Enquanto eu escrevo isso, a página já está com mais de 12 mil respostas. A grande maioria respondeu 12 e há uma parcela considerável que respondeu 18.

Ok, a brincadeira é montada para as pessoas errarem e ninguém está livre de uma trollada. Mas o divertido mesmo de toda a coisa aqui, são os comentários nonsense.

Sendo hoje Finados, Descanse em Paz, Matemática.

Quadro de Medalhas

Uma coisa interessante sobre as Olimpíadas, e que poucos sabem, é que o quadro de medalhas não existe.

O Capítulo 1, seção 6, do regimento olímpico diz que:

Os Jogos Olímpicos são uma competição entre atletas, individualmente ou em equipes, e não uma competição entre países.

No Capítulo 5, seção 58 temos:

 O Comitê Olímpico Internacional e o Comitê Organizador dos Jogos não devem elaborar um ranking geral de países.

Mas as guerras estão aí para nos mostrar que o que todo mundo gosta mesmo é de ver a disputa entre países, então, é divulgado apenas para informação, um ranking das medalhas ganhas por cada pais, ordenadas pelo ouro, com prata e bronze como desempate.

Medalha de Ouro: 92,5% de prata, 1,34% de ouro e o restante de cobre

Sem uma contagem oficial, cada um pode contar como quiser. Foi o que aconteceu em 2008 entre EUA e China. Enquanto os americanos utilizaram a classificação de maior numero de medalhas (onde um país com 31 bronzes já é melhor que um país com 30 ouros), os chineses optaram pela maior quantidade de ouros (onde um país com apenas um ouro é considerado melhor que um país com infinitas pratas ou bronzes).

Para fugir da polêmica de 2008 (ou aumenta-la), o New York Times deu pontuação para as medalhas. Ouro valia 4 pontos, Prata 2, e Bronze 1. Esse método também foi usado pela Associação Australiana dos Professores de Geografia, em 2004, usando 3 pontos para Ouro, 2 para Prata e 1 para Bronze.

Levar em conta as características do país também é uma outra maneira de classificação. O The Guardian fez isso. Relacionou o resultado olímpico com o PIB do país, a população, e o tamanho da delegação olímpica.

Algumas conclusões sobre o desempenho dos países pode ser tirada disso, mas eu vou apenas apresentar os resultados, como o COI faria.

Granada e Jamaica ficaram na frente no ranking por PIB e por população. Completam os primeiros lugares, pelo PIB, Coreia do Norte, Mongólia e Geórgia; e Bahamas, Nova Zelândia e Trinidad & Tobago, no ranking populacional.

No ranking elaborado pelo tamanho da delegação olímpica, a China aparece em primeiro, com a Jamaica novamente em segundo e Irã, Botswana e Estados Unidos completando as cinco primeiras posições.

Os Estados Unidos que aparecem em primeiro no tradicional quadro de medalhas são os 66º na medida feita pelo PIB, e 47º pelo ranking de população.

O Brasil é 71° em relação ao PIB, 67° na classificação populacional, e 54° pelo tamanho da delegação olímpica.
Para ver a lista completa basta clicar aqui. Para entender o método usado pelo The Guardian para chegar nessas classificações, e ver todas as tabelas de dados, clique aqui.

Bill Mitchell, professor de Economia da Universidade de Newcastle, Austrália, criou uma classificação como a anterior, mas também usou o PIB per capta como parâmetro. A China lidera, seguida por Etiópia, Quênia, Rússia e Coreia do Norte. Os Estados Unidos aparecem em sétimo. O Brasil é décimo primeiro, na frente de países com desempenho melhor na contagem tradicional de medalhas, como Alemanha, Itália, França e Japão. A tabela completa pode ser acessada aqui.

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