Estacionando com matemática

 

Estacionar é como tentar encontrar alguém para um relacionamento. Você até dá algumas voltas procurando por uma boa vaga, mas no fim das contas acaba parando na que está disponível.

Duas categorias de profissionais, os flanelinhas e manobristas, se encarregavam de auxiliar aqueles com poucos pontos de experiência na habilidade “manobrar máquinas motorizadas”. Agora chegou a vez dos matemáticos.

austin

A pedido da Vauxhall Motors o matemático Simon Blackburn, da Universidade de Londres, desenvolveu um modelo para estimar qual a menor distância entre dois carros o motorista precisaria para fazer a baliza (aquele procedimento de estacionar entre dois carros, entrando na vaga de ré, com um único movimento de S).

E o resultado foi esse:

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Apesar de parecer algo assustador, a fórmula é simples, e originária do clássico Teorema de Pitágoras. Sim, aquele mesmo do colégio, que diz que “o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos”.

O espaço mínimo da vaga é representado por D. O comprimento do carro é DC.

Blackburn usou os arcos de círculo que o carro percorre quando o carro está fazendo o movimento de “S” da baliza.

blackburnfig

EX = R, EF = L, AE = K, GH = W. Queremos saber AH = D.

 

Se o carro está se movendo com o volante todo virado para um lado, ele irá percorrer a menor trajetória circular possível. O raio desse círculo é o R da equação. A distância entre eixos é L. A distância da roda dianteira, até o para-choque dianteiro é K. E a largura do carro estacionado na sua frente é W.

O carro mais vendido no Brasil é Gol, então vamos usa-lo para os cálculos.

R = 5,4 m
L = 2,4 m
K = 0,7 m
W = 1,6 m  (considerando que o outro carro também é um Porsche Gol)

blackburnresult

Então, o espaço necessário para a baliza com um Gol é 5,5 m (3,9 m do comprimento do carro, mais 1,6 m do resultado do modelo).

O matemático Jerome White achou o modelo do Simon Blackburn muito conservador, e resolveu aperfeiçoa-lo.

Além das variáveis do primeiro modelo, White também usa a distância que o motorista pretende deixar entre o carro e o meio fio, o ângulo que o carro faz com o meio fio durante a manobra, e a largura dos três carros envolvidos. No site há um aplicativo Java para simular a baliza.

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Utilizando os dados do Gol, e supondo que o carro ficará 20 cm do meio fio, a distancia necessária pra estacionar é de 4,8 m. (novamente, 3,9m do Gol, mais 0,9 do modelo.)

No modelo do Jerome White precisamos de um espaço 70 centímetros menor que no modelo do Blackburn, para estacionar um Gol.

Em um ponto, ambos modelos concordam. Tendo um número ilimitado de manobras, é possível estacionar em qualquer vaga que tenha, pelo menos, o tamanho do seu carro. E com os sistemas automáticos para estacionamento, não precisamos mais de manobristas e flanelinhas. Nem matemáticos.

 

P.S.

Alguém afim de calcular quanto espaço é necessário pra estacionar um Smart? 😛

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Referências:

Modelo do Blackburn: http://personal.rhul.ac.uk/uhah/058/perfect_parking.pdf

Modelo do White: http://www.talljerome.com/NOLA/parallelparking/

Ficha Técnica do Gol: http://quatrorodas.abril.com.br/imagens/reportagens/633_gol_tx1.jpg

Tem Ciência nisso… n°3

As origens do Poker são controversas, fato é que hoje é um dos jogos de cartas mais populares do mundo. Do Saloon ao Casino Royale, ou no fim de semana em sua sala, há muita matemática e estratégia escondida no jogo, ainda que este siga com um estigma de “jogo de azar”.

Pra quem não conhece, algumas regras básica. Se você já conhece, pode pular para a foto do gatinho.

O objetivo comum entre todas as variantes é obter a melhor combinação de cinco cartas. Dá menor para a maior:

  • Carta alta: Vence aquele com a carta mais alta em jogo.
  • Par: Duas cartas do mesmo valor.
  • Dois pares: Sem mistério, são dois pares mesmo.
  • Trinca: Três cartas do mesmo valor.
  • Straight: Cinco cartas em sequência.
  • Flush: Cinco cartas do mesmo naipe.
  • Full House: Uma trinca e um par.
  • Quadra: Quatro cartas do mesmo valor.
  • Straight Flush: Uma sequência qualquer, com cartas do mesmo naipe.
  • Royal Flush: Uma sequência de 10 até A, com cartas do mesmo naipe.

No Texas Hold’em, a variante mais jogada no mundo, cada jogador recebe duas cartas. Uma rodada de apostas é feita, e para aqueles que continuam no jogo, abrem três cartas comunitárias na mesa (o flop). Uma nova rodada de apostas, e então uma quarta carta é aberta na mesa (o turn). Novamente as apostas são feitas e então a última carta é aberta (river). Se os jogadores resolverem continuar na mão, as cartas são mostradas. Das sete cartas é feita a melhor combinação de cinco, seja usando as duas, uma, ou mesmo nenhuma carta originalmente recebida pelo jogador.

Foto do Gatinho

Da Combinatória obtemos as probabilidades no Poker. Um baralho tem 52 cartas, 13 de cada naipe. São 2.598.960 mãos possíveis. A probabilidade de sair um Royal Flush é de 0,00015%. Uma sequência vai ocorrer 0,39% das vezes. Um par tem 42,3% de chances de aparecer.

Vale lembrar que no Texas Hold’em cada jogador recebe inicialmente duas cartas. De fato, a maior parte das mãos são definidas antes mesmo da abertura do flop, neutralizando o efeito da aleatoriedade na distribuição das cartas.

Existem 1326 combinações possíveis de mãos iniciais. Mas, como antes do flop não há diferença de valor entre uma mão de Ás de Espadas e Rei de Copas ou Ás de Ouro e Rei de Paus, as combinações de mãos inciais podem ser reduzidas para 169. Portanto um par de Ás, que possuí cerca de 85% de chances de vitória contra outra mão aleatória, será recebido como mão inicial a cada 220 mãos.

Um jogador de Poker joga contra (ou com) a matemática. A cada roda de apostas ele calcula se é lucrativo ou não continuar em uma mão, baseado nas probabilidades daquela mão ser vencedora. A longo prazo não vale a pena comprometer uma fração da banca que seja superior a probabilidade daquela mão vencer.

Também é preciso saber quais as chances existentes de que apareça nas cartas comunitárias alguma que agregue valor à mão do jogador. Se você, por exemplo, segura duas cartas de Copas, e outras duas aparecem no flop, as perguntas devem ser: qual a probabilidade de abrir uma carta de Copas no turn ou no river? Quanto devo investir de minha banca sobre essa probabilidade?

Entretanto, como toda situação probabilística, o Poker não está livre da variância. Um 7 e 2 (pior mão do jogo), vencerá algumas vezes o poderoso AA.

Greg Merson – Vencedor do WSOP 2012

 

Conhecido um pouco da matemática do jogo, vamos para a evento principal da World Series of Poker de 2012, considerado o torneio mais importante do mundo. Dos mais de 6000 inscritos, nove foram para a mesa final e o vencedor, Greg Merson, recebeu um premio de mais de oito milhões de dólares, além do tradicional bracelete de campeão.

Ao todo foram jogadas 399 mão na mesa final, e 57,6% foram decididas no antes flop. Somente em 52 mãos as cartas foram mostradas, e em apenas 4% das jogadas alguém arriscou todas as suas fichas (o famoso all in).

Das 29 mãos em que alguém venceu no showdown (quando as cartas de todos os jogadores envolvidos são mostradas, e vence aquele com a melhor combinação) em 10 o perdedor é quem tinha a melhor mão inicial. Quando levado em conta apenas showdowns que eliminaram jogadores do torneio, todos foram vencidos pela melhor mão inicial.

Assista ao vídeo da última mão:

Merson aposta tudo, e força Sylvia, com menos fichas a fazer o mesmo caso queira continuar na mão. Nessa situação, se Jesse Sylvia vence a mão, dobra suas fichas e o jogo continua, se perde, é eliminado do torneio e a vitória fica com Greg Merson. Após um tempo pra decidir, Sylvia paga.

Merson mostra K 5 de Ouros, tendo 55% de chances de terminar o showdown com a melhor mão, contra os 45% do Q J de Espadas do Jesse Sylvia. As chances de Sylvia são todas as cartas que melhorem a sua mão, ou seja, todos os Q e J restantes do baralho, mais as cartas de Espadas (flush) e as cartas que possibilitem uma sequência.

Nada disso acontece no flop, e as chances de Merson aumentam. Caso duas cartas de espadas tivessem aparecido no flop, por exemplo, as probabilidades teriam virado para 54% x 46% em favor do Sylvia.

Com Sylvia sem chances de conseguir uma sequencia ou cinco cartas do mesmo naipe, Merson chega ao turn com 76% de chances de vencer. Um Q ou J faria Sylvia ir acima dos 70%. No river, nem J nem Q, e Merson é declarado o vencedor.

Pra terminar, pulamos agora do mundo real para a ficção. Assita:

Bond tem a mão inicial com menor chance de vitória, apenas 12%. O jogador com KQ é quem sai na frente, com 35%.

O flop abre e o jogador com 88 bate a trinca, virando o favorito com 47% de chances de vencer. O vilão tem dois pares, provavelmente imaginando ter uma boa mão. Enquanto isso, Bond (28%) e o jogador restante aguardam por mais uma carta de espadas para completar o flush.

O turn mostra um 4 de Espadas. Bond completa o Straight Flush e não há mais chance matemática de vitória para os outros jogadores. O river ainda vai mostrar outro Ás, dando falsas esperanças de vitória ao vilão com o Full House.

– Do you expect me to talk?

– No, Mr. Bond. I expect you to fold

Tem Ciência nisso… nº2

Ah, os Jogos Olímpicos, todos os povos do mundo reunidos em clima de confraternização e harmonia. Afinal, o que importa é participar, não?

Existe muuuita Ciência por trás dos esportes modernos. Dos equipamentos, criados com o que há de melhor em termos de tecnologia. Da preparação dos atletas, em que todos os movimentos são friamente calculados.

Todo um conjunto focado no momento máximo do esporte. Ah, o resultado.

Diferente da coleta do resultado de esportes coletivos como o futebol, o vôlei ou o basquete, ou os individuais, mas definidos por pontuação, nos esportes de velocidade, onde uma fração de segundo define se o atleta leva ou não uma medalha, equipamentos precisos são necessários.

Velhos Tempos

Em Estocolmo 1912, os primeiros cronômetros elétricos. Uma câmera na chegada introduzia o conceito do photo finish. De lá pra cá, as primeiras foto células, a integração entre cronômetro e photo finish, botões de contato nas piscinas, blocos de largada para medir a reação no atletismo, e claro, equipamentos cada vez mais sofisticados e medidas cada vez mais precisas.

Novos Tempos

A Omega, responsável pela cronometragem oficial das competições dos Jogos Olímpicos de Londres 2012, levará para as pistas e piscinas das provas de velocidade o Quantum, que pode medir tempos em até um milionésimo de segundo, ou seja, 0.000001 (!) A equipe é composta por 450 técnicos, 800 voluntários e 400 toneladas de equipamentos.

Agora, imaginem que um extraterrestre foi enviado para a Terra com a missão de coletar informações sobre os humanos. Uma delas, saber quanto um humano consegue correr. Por um total acaso, ele acaba indo parar em uma final de uma prova Olímpica de 100 metros do atletismo. Por outro total acaso, ele sabe como uma prova dessas se desenvolve.

A pistola de largada, o bloco e os sensores de chegada estão todos integrados ao sistema de medição de tempo. Quando o oficial dispara o tiro, para que todos os atletas escutem ao mesmo tempo, existem auto falantes atrás dos blocos. O cronometro começa a rodar, o bloco mede o tempo de reação do atleta, se menor que um décimo de segundo, o sistema considera como uma largada falsa, e automaticamente um novo tiro é ouvido. Se a largada for boa, antes que você consiga terminar de pronunciar parangaricutirimicuaro teremos a definição do humano mais rápido do mundo.

Na chegada, as fotocélulas estão preparadas para travar o cronometro quando o primeiro atleta cruzar a linha com seu tronco. Os espectadores veem o tempo no telão do Estádio e em seus televisores ao redor do mundo. Na sala de controle, os diretores de cronometragem corrigem o tempo de todos os competidores através do photo finish. Em instantes, o resultado oficial é anunciado.

Podemos dizer que medir tempo e distância é algo trivial na Física, mas que não deixa de nos surpreender. Os neutrinos não bateram recorde, foi um problema de medida, já a determinação da distância de supernovas garantiu o ultimo Prêmio Nobel de Física.

Nosso amigo extraterrestre viu que aqueles humanos percorreram os 100 metros em pouco menos de 10 segundos. Mas como ele sabe se isso é muito, ou se é pouco, ou se é comum que os humanos façam o percurso naquele tempo?

Diferente da Ciência, onde as medidas são feitas e refeitas bilhões e bilhões de vezes, nas Olimpíadas só há uma tentativa. Isso implica, além da necessidade de um eficiente sistema com redundâncias, que o resultado final não define necessariamente qual é o competidor mais rápido, mas sim, qual foi o mais rápido naquela prova. Se fosse possível repetir a “experiência” 10 vezes, em quantas o medalhista de ouro seria o mesmo? E em 100? E em 1000? E se ao invés dos atletas, a prova fosse comigo, ou com você?

Tão importante quanto a quantidade de medidas é a qualidade dessas medidas. Variações acontecem, por conta dos instrumentos, e mesmo por conta da natureza do fenômeno que está sendo medido. Ferramentas matemáticas nos ajudam a saber o quanto uma medida é confiável. É a chamada incerteza. Quanto menor for a dispersão entre as várias medidas, menor a incerteza e mais confiável é o resultado da medida.

Vamos ajudar o visitante interplanetário e brincar um pouco com os dados das provas de 100 metros de quatro competidores. O primeiro deles, obviamente, o jamaicano Usain Bolt, ultimo Campeão Olímpico e recordista mundial (9,58s no Mundial de Atletismo em Berlim, 2009). Os outros três, que já venceram Bolt, são Asafa Powell e Yohan Blake (há quem coloque Blake como favorito ao Ouro em Londres ), também da Jamaica, e o americano Tyson Gay.

Em primeiro plano Bolt (direita) Gay e Powell

Para que não seja necessário abduzir os atletas e coloca-los para correr, vamos simular o experimento e considerar suas cinco melhores provas na história. O resultado (em segundos), seguindo o formato de média ± desvio padrão (incerteza) é o seguinte:

Blake: 9,82 ± 0,04 
Bolt: 9,70 ± 0,07
Gay: 9,74 ± 0,04 
Powell: 9,75 ± 0,02

Esses dados significam que os tempos dos competidores, na maioria das vezes, estarão dentro desse intervalo. Quanto mais fora do intervalo, menos comum do resultado acontecer.

Powell é o que tem o menor desvio, isso nos quer dizer que os resultados dele são os mais próximos entre os atletas. De fato, em três de suas cinco melhores provas ele marcou o mesmo tempo. Bolt é, em média, o atleta mais rápido, seus tempos dispersos são justificados pelo recorde mundial de 2009 e olímpico de 2008. O recorde Olímpico, 9.69s, é também o melhor tempo de Tyson Gay. Interessante notar que é um tempo que está abaixo do desvio padrão dele, ou seja, é menos comum que Tyson Gay faça tempos abaixo de 9.70s.  O recorde mundial de Usain Bolt é quase dois desvios menor que seu tempo médio, então não devemos esperar que ele faça esse tempo com frequencia. Para entender essas diferenças, basta pensar que os atletas tendem a atingir um melhor nível desempenho em torneios considerados mais importantes.

Considerando todos os tempos, temos que um atleta de alto nível completa a prova de 100m, na maior parte das vezes, em 9,75 ± 0,06 segundos.

Eu não sei quais conclusões nosso amigo E.T. vai tirar disso tudo, mas eu, usarei nossos dados para alguns palpites sobre a competição das Olimpíadas desse ano. Blake tem o melhor tempo do ano, é considerado um dos favoritos e deve vir forte para as Olimpíadas. Bolt, como vimos anteriormente, é um atleta rápido, se estiver em condições adequadas, será uma disputa interessante. Sobre os tempos, aposto na quebra do recorde olímpico, mas tenho dúvidas sobre a quebra do recorde mundial.

Recordes foram feitos para serem quebrados, mas existem algumas regras para que sejam válidos. A velocidade do vento, por exemplo, deve ser menor que 2 m/s. Utilizar mais da precisão tecnologicamente disponível seria uma alternativa para que mais quebras de recorde aconteçam. Até que um dia, talvez, o ser humano chegue ao seu limite.

As provas do atletismo começam no dia 3 de Agosto. Os 100m tem as classificatórias no dia 4, e a semi final e final no dia 5 de Agosto. Façam suas apostas.

Atualização

E o resultado ficou dentro da nossa previsão. Bolt e Blake foram os primeiros, com Bolt levando o Ouro com um tempo de 9,63s. Abaixo do recorde olímpico anterior, mas ainda acima do recorde mundial.

Enquanto aconteciam as semi finais, postei o seguinte no twitter:

 

Um centésimo de diferença. Aqueles que considerarem suficiente, liguem djá!

Tem Ciência nisso… n°1

A Ciência está em todos os lugares, mas ver Ciência em tudo que é coisa a todo instante só vai torna-lo ao longo do tempo um maluco, ou pior, um chato, ou ainda pior, os dois.

Vou correr o risco…

“Tem Ciência nisso…” é uma série de postagens que eu lanço hoje, sem quantidade ou frequência definida (mas que ajuda muito a tapar buraco), sobre coisas com algum fundo científico, mas que talvez você ainda não tenha percebido.

E pra começar, música! Do fundo do baú!

Se você tem quarenta anos ou mais, deve lembrar do Righeira (ou não). Se você é dessa geração que escuta Restart e Justin Bieber, saiba que Righeira é um dueto formado por Stefano Rota e Stefano Righi. Em 1983 ficaram mundialmente bastante relativamente bem conhecidos com o single Vamos A La Playa. Mais do que um grande sucesso de Italo Disco (?), Vamos A La Playa é uma música sobre Bombas Atômicas (!).

Escute enquanto continua lendo…

A tradução da música é simples, basicamente, “vamos para a praia” seguido de uma espécie de gemido repetido várias vezes. Outros trechos são mais interessantes.

“Vamos para a praia / todos de chapéu / O vento radioativo / despenteia o cabelo”

O Atol de Bikini no Oceano Pacífico, além da casa do Bob Esponja, é um dos mais famosos sítios de testes nucleares. Entre 1946 e 1958 os EUA realizaram 23 detonações.

Detonação nuclar no Atol de Bikini

A Bomba Tsar, da ex União Soviética, é a maior bomba de Hidrogênio já construída, com 50 megatons, é equivalente a 2500 vezes a bomba que foi jogada sobre Nagasaki durante a Segunda Guerra. Se uma dessas fosse detonada em uma praia do Rio de Janeiro, seu cabelo seria despenteado junto com várias cidades próximas.

“As radiações queimam / e pintam de azul” … “Sem peixes mal cheirosos / Somente água fluorescente”

Eu já falei aqui sobre como coisas potencialmente destrutivas podem ser bonitas. Os cogumelos das explosões de bombas nucleares são bastante bonitos, mas a música fala sobre tons de azul e água fluorescente.

Isso me faz lembrar que quando uma partícula viaja em um meio, com velocidade maior que a da luz naquele meio, ela libera um tipo de radiação. Também conhecido como efeito Cherenkov, visto em reatores nucleares.

Como parece, você se pergunta. Bem, a água fica azul e fluorescente:

Radiação de Cherenkov

Por hoje é isso, porque agora eu vou pra a praia (só que não).

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